Ähnlichkeit

Matilda sagt: „Meine kleine Schwester sieht mir sehr ähnlich."

(a) Was meint Matilda mit „ähnlich"? Beschreibe den Alltagsbegriff.

(b) Was könnte „ähnlich" in der Mathematik bedeuten? Versuche eine Definition.

(c) Nenne ein Beispiel für zwei Figuren, die im Alltag „ähnlich aussehen", in der Mathematik aber NICHT ähnlich sind.

Ordne die folgenden Figurenpaare in das Venn-Diagramm ein:

(a) Zwei Quadrate mit Seitenlänge $3\,\text{cm}$

(b) Ein Quadrat mit Seitenlänge $3\,\text{cm}$ und ein Quadrat mit Seitenlänge $5\,\text{cm}$

(c) Ein Rechteck $2\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$ und ein Rechteck $3\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}$

(d) Zwei gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge $4\,\text{cm}$ und $7\,\text{cm}$

(e) Ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten $3$-$4$-$5$ und eines mit Seiten $5$-$12$-$13$

Tim sagt: „Alle Rechtecke sind ähnlich, weil alle Winkel $90°$ sind."

Greta widerspricht: „Das stimmt nicht!"

(a) Prüfe Tims Behauptung: Vergleiche das Rechteck $R_1$ mit den Seiten $2\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}$ und das Rechteck $R_2$ mit den Seiten $3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$.

(b) Sind die Winkel gleich? Sind die Seitenverhältnisse gleich?

(c) Wer hat recht — Tim oder Greta? Begründe.

Diese Aufgabe soll ohne KI-Unterstützung gelöst werden.

Lisa zeichnet ein Rechteck mit den Seiten $2\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ (Seitenverhältnis $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$).

Sie möchte ein ähnliches, größeres Rechteck zeichnen und verlängert jede Seite um $2\,\text{cm}$. Das neue Rechteck hat die Seiten $4\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$.

(a) Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Prüfe über die Seitenverhältnisse.

(b) Was hätte Lisa stattdessen tun müssen, um ein ähnliches Rechteck zu erhalten?

(c) Formuliere eine Regel: Wie erzeugt man aus einer Figur eine ähnliche Figur?

Aufgabe: Gegeben sind drei Vierecke. Prüfe, welche Paare ähnlich sind.

• Fig. 1: Viereck $ABCD$ mit den Seiten $a = 3\,\text{cm}$, $b = 2\,\text{cm}$, $c = 1\,\text{cm}$, $d = \sqrt{2}\,\text{cm}$ und den Winkeln $\alpha = 90°$, $\beta = 120°$, $\gamma = 90°$, $\delta = 60°$.

• Fig. 2: Viereck $EFGH$ mit den Seiten $e = 1{,}5\,\text{cm}$, $f = 1\,\text{cm}$, $g = 0{,}5\,\text{cm}$, $h = \frac{\sqrt{2}}{2}\,\text{cm}$ und den Winkeln $\alpha' = 90°$, $\beta' = 120°$, $\gamma' = 90°$, $\delta' = 60°$.

• Fig. 3: Viereck $IJKL$ mit den Seiten $i = 3\,\text{cm}$, $j = 1{,}5\,\text{cm}$, $k = 1\,\text{cm}$, $l = \sqrt{2}\,\text{cm}$ und den Winkeln $\alpha'' = 90°$, $\beta'' = 120°$, $\gamma'' = 90°$, $\delta'' = 60°$.

Schritt 1 — Ansatz: Bei Vielecken müssen wir BEIDES prüfen: Winkel UND Seitenverhältnisse. Wir vergleichen alle drei Paare.

Schritt 2 — Winkel vergleichen:

Alle drei Figuren haben dieselben Winkel. ✓

Schritt 3 — Seitenverhältnisse berechnen:

Wir berechnen das Verhältnis der entsprechenden Seiten:

Fig. 1 und Fig. 2:

$\frac{e}{a} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5 \qquad \frac{f}{b} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \qquad \frac{g}{c} = \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5 \qquad \frac{h}{d} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = 0{,}5$

Alle Verhältnisse sind gleich: $k = 0{,}5$. ✓

Fig. 1 und Fig. 3:

$\frac{i}{a} = \frac{3}{3} = 1 \qquad \frac{j}{b} = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75 \qquad \frac{k}{c} = \frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{l}{d} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Die Verhältnisse sind nicht gleich: $1 \neq 0{,}75$. ✗

Schritt 4 — Ergebnis und Interpretation:

• Fig. 1 und Fig. 2 sind ähnlich (Streckfaktor $k = 0{,}5$). Beide Bedingungen — gleiche Winkel und gleiche Seitenverhältnisse — sind erfüllt.
• Fig. 1 und Fig. 3 sind NICHT ähnlich. Obwohl alle Winkel übereinstimmen, sind die Seitenverhältnisse verschieden. Bei Vielecken reichen gleiche Winkel nicht aus!

Aufgabe: In der folgenden Figur liegen $\triangle ABC$ und $\triangle DBE$ übereinander. Die Strecke $DE$ ist parallel zu $AC$. Gegeben: $AC = 3\,\text{cm}$, $DE = 1{,}5\,\text{cm}$, $BE = 2{,}5\,\text{cm}$, $\angle ABC = \angle DBE = \beta$.

(a) Begründe, warum $\triangle ABC \sim \triangle DBE$.

(b) Berechne $BC$ und den Streckfaktor $k$.

Schritt 1 — Ansatz (Winkelvergleich):

Bei Dreiecken genügt es, die Winkel zu vergleichen (Ähnlichkeitssatz 1).

• $\angle ABC = \angle DBE = \beta$ (gemeinsamer Winkel) ✓
• $\angle BAC = \angle BDE$ (Stufenwinkel an parallelen Geraden $AC \parallel DE$) ✓
• Daraus folgt: $\angle BCA = \angle BED$ (denn die Winkelsumme ist $180°$) ✓

Also: $\triangle ABC \sim \triangle DBE$ nach dem Ähnlichkeitssatz 1. ✓

Schritt 2 — Entsprechende Seiten zuordnen:

Die Zuordnung erfolgt über die Lage: Seiten, die dem gleichen Winkel gegenüberliegen, entsprechen einander.

Schritt 3 — Proportionsgleichung aufstellen und lösen:

$\frac{AC}{DE} = \frac{BC}{BE}$

$\frac{3}{1{,}5} = \frac{BC}{2{,}5}$

$2 = \frac{BC}{2{,}5}$

$BC = 2 \cdot 2{,}5 = 5\,\text{cm}$

Der Streckfaktor ist $k = \frac{AC}{DE} = \frac{3}{1{,}5} = 2$.

Schritt 4 — Plausibilität:

$\triangle ABC$ ist das größere Dreieck ($k = 2 > 1$). Passt: $BC = 5 > BE = 2{,}5$, und $AC = 3 > DE = 1{,}5$. Alle Seiten des großen Dreiecks sind doppelt so lang wie die des kleinen. ✓

Gegeben sind zwei Dreiecke: $\triangle PQR$ mit $\angle P = 35°$, $\angle Q = 90°$ und $\triangle STU$ mit $\angle S = 35°$, $\angle T = 90°$.

Die Seiten betragen: $PQ = 4\,\text{cm}$, $QR = 3\,\text{cm}$, $PR = 5\,\text{cm}$ und $ST = 6\,\text{cm}$.

(a) Ähnlichkeitsbegründung: $\angle P = \angle S = 35°$ und $\angle Q = \angle T = 90°$, also $\angle R = \_\_°$ und $\angle U = \_\_°$. Alle Winkel stimmen überein, also $\triangle PQR \sim \triangle STU$ nach ________.

(b) Zuordnung entsprechender Seiten:

(c) Streckfaktor: $k = \frac{ST}{PQ} = \frac{6}{\_\_} = \_\_$

(d) Berechnung: $TU = k \cdot QR = \_\_ \cdot 3 = \_\_\,\text{cm}$ und $SU = k \cdot PR = \_\_ \cdot 5 = \_\_\,\text{cm}$.

Diese Aufgabe soll ohne KI-Unterstützung gelöst werden.

Gegeben: $\triangle ABC$ mit $AB = 4\,\text{cm}$, $AC = 6\,\text{cm}$, $\angle A = 50°$ und $\triangle DEF$ mit $DE = 6\,\text{cm}$, $DF = 9\,\text{cm}$, $\angle D = 50°$.

(a) Prüfe, ob die Dreiecke ähnlich sind — über Seitenverhältnisse.

(b) Bestimme den Streckfaktor $k$.

(c) Berechne die fehlenden Seitenlängen, falls der Umfang von $\triangle ABC$ $U = 14{,}6\,\text{cm}$ beträgt.

Sechs Rechtecke sind gegeben. Finde alle Paare, die zueinander ähnlich sind.

Prüfe, ob die folgenden Dreiecke ähnlich sind:

$\triangle ABC$ mit $a = 6\,\text{cm}$, $b = 8\,\text{cm}$, $c = 10\,\text{cm}$.

$\triangle DEF$ mit $d = 9\,\text{cm}$, $e = 12\,\text{cm}$, $f = 15\,\text{cm}$.

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ mit $k = 2{,}5$. Gegeben: $a = 4\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$, $c = 5\,\text{cm}$.

Berechne $d$, $e$ und $f$.

$\triangle ABC$ mit $AB = 5\,\text{cm}$, $BC = 7\,\text{cm}$, $\angle B = 40°$.

$\triangle DEF$ mit $DE = 10\,\text{cm}$, $EF = 14\,\text{cm}$, $\angle E = 40°$.

(a) Sind die Dreiecke ähnlich? Begründe.

(b) Bestimme $k$ und berechne $AC$ und $DF$, wenn $AC = 4{,}5\,\text{cm}$.

Die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ sind ähnlich. Die Seiten und Winkel betragen:

$\triangle ABC$: $AB = 6\,\text{cm}$, $BC = 8\,\text{cm}$, $AC = 10\,\text{cm}$. Winkel: $\angle A = 53°$, $\angle B = 90°$, $\angle C = 37°$.

$\triangle DEF$: $DE = 5\,\text{cm}$, $EF = 3\,\text{cm}$, $DF = 4\,\text{cm}$. Winkel: $\angle D = 37°$, $\angle E = 53°$, $\angle F = 90°$.

(a) Ordne die entsprechenden Seiten zu. Achtung: Nutze die Winkel, nicht die Beschriftung!

(b) Berechne den Streckfaktor $k$.

Beurteile für jede Figurenklasse: Sind je zwei Vertreter immer, nie oder manchmal zueinander ähnlich? Begründe jeweils.

(a) rechtwinklige Dreiecke

(b) Parallelogramme

(c) Quadrate

(d) Kreise

(e) gleichseitige Dreiecke

(f) gleichschenklige Dreiecke

$\triangle ABC$ soll auf $\triangle ADE$ und $\triangle BGF$ abgebildet werden. Dabei ist $\triangle ADE$ eine verkleinerte Version von $\triangle ABC$, und $\triangle BGF$ eine vergrößerte und gespiegelte Version.

(a) Welche Abbildungen brauchst du für $\triangle ABC \to \triangle ADE$? (Streckung? Drehung? Spiegelung?)

(b) Welche Abbildungen brauchst du für $\triangle ABC \to \triangle BGF$?

(c) Sind $\triangle ABC$, $\triangle ADE$ und $\triangle BGF$ alle zueinander ähnlich? Begründe.

In einem rechtwinkligen Dreieck $\triangle ABC$ ($\angle C = 90°$) wird die Höhe $h_c$ auf die Hypotenuse $c = AB$ gefällt. Der Fußpunkt sei $H$.

(a) Begründe: $\triangle AHC \sim \triangle ABC$.

(b) Begründe: $\triangle CHB \sim \triangle ABC$.

(c) Folgere: $\triangle AHC \sim \triangle CHB$.

Konstruiere $\triangle ABC$ mit $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $c = 5\,\text{cm}$.

Ein ähnliches Dreieck $\triangle A'B'C'$ hat den Umfang $U' = 17{,}4\,\text{cm}$.

(a) Berechne den Streckfaktor $k$.

(b) Berechne die Seitenlängen $a'$, $b'$, $c'$.

$\triangle ABC$ hat $\alpha = 55°$ und $\beta = 30°$.

$\triangle A'B'C'$ hat $\alpha' = 75°$ und $\beta' = 55°$.

Sind die Dreiecke ähnlich? Begründe vollständig.

$\triangle ABC$ und $\triangle BDA$ sind gleichschenklig. $\triangle ABC$ hat die Basis $AB = 6\,\text{cm}$ und die Schenkel $BC = CA = 5\,\text{cm}$. $\triangle BDA$ hat die Basis $BD$ und die Schenkel $DA = AB = 6\,\text{cm}$.

(a) Zeige, dass die Dreiecke ähnlich sind.

(b) Berechne die Seitenlänge $BD$.

Diese Aufgabe soll ohne KI-Unterstützung gelöst werden.

Tim sagt: „Die Seitenlängen der beiden Vierecke sind alle gleich, also sind sie ähnlich."

Beurteile Tims Aussage. Begründe mit einem Beispiel oder Gegenbeispiel.

Frage 1 (AFB I): $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ mit $a = 4\,\text{cm}$, $d = 6\,\text{cm}$, $b = 5\,\text{cm}$. Wie lang ist $e$?

• A: $7\,\text{cm}$
• B: $7{,}5\,\text{cm}$
• C: $3{,}33\,\text{cm}$
• D: $10\,\text{cm}$

B ist richtig. $k = \frac{d}{a} = \frac{6}{4} = 1{,}5$. Also $e = k \cdot b = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5\,\text{cm}$.

• A ($7\,\text{cm}$): Additiver Fehler — jede Seite $+2\,\text{cm}$ statt $\cdot 1{,}5$ (F3).
• D ($10\,\text{cm}$): Falsches Verhältnis $\frac{d}{a} = \frac{6}{4}$, dann $\cdot b$ falsch berechnet.

Frage 2 (AFB I): $\triangle PQR$ hat die Winkel $\angle P = 40°$, $\angle Q = 65°$. $\triangle XYZ$ hat $\angle X = 40°$, $\angle Z = 80°$. Sind die Dreiecke ähnlich?

• A: Ja, weil $\angle P = \angle X = 40°$
• B: Ja, weil alle drei Winkel übereinstimmen
• C: Nein, weil die Winkelmengen verschieden sind
• D: Man kann es nicht entscheiden

C ist richtig. Dritte Winkel berechnen: $\angle R = 180° - 40° - 65° = 75°$ und $\angle Y = 180° - 40° - 80° = 60°$. Die Winkelmengen sind $\{40°, 65°, 75°\}$ und $\{40°, 60°, 80°\}$ — diese stimmen nicht überein.

• A: Ein gemeinsamer Winkel allein reicht nicht. Man braucht zwei übereinstimmende Winkel (der dritte folgt dann automatisch).
• B: Falsch — die Winkelmengen sind verschieden.

Frage 3 (AFB I): Welche Figuren sind immer zueinander ähnlich?

• A: Alle Rechtecke
• B: Alle Kreise
• C: Alle rechtwinkligen Dreiecke
• D: Alle Parallelogramme

B ist richtig. Alle Kreise sind zueinander ähnlich — sie unterscheiden sich nur im Radius.

• A: Nicht alle Rechtecke sind ähnlich (z.B. $2 \times 6$ und $3 \times 4$, F2).
• C: Nicht alle rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich (die spitzen Winkel können verschieden sein).
• D: Nicht alle Parallelogramme sind ähnlich (verschiedene Winkel und Seitenverhältnisse möglich).

Frage 4 (AFB II): $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ haben die Seiten $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ bzw. $d = 5$, $e = 12$, $f = 13$. Jemand sagt: „Beide sind rechtwinklig, also ähnlich." Stimmt das?

• A: Ja, weil rechtwinklige Dreiecke immer ähnlich sind
• B: Ja, weil beide einen $90°$-Winkel haben
• C: Nein, weil die Seitenverhältnisse verschieden sind
• D: Nein, weil nur eines rechtwinklig ist

C ist richtig. Beide sind rechtwinklig ($3^2 + 4^2 = 5^2$ und $5^2 + 12^2 = 13^2$), aber ein gemeinsamer rechter Winkel allein genügt nicht. Man braucht zwei übereinstimmende Winkel. Die anderen Winkel sind verschieden: $\arctan(\frac{3}{4}) \approx 36{,}9° \neq \arctan(\frac{5}{12}) \approx 22{,}6°$.

• A und B sind falsch — rechtwinklige Dreiecke sind NICHT immer ähnlich!

Frage 5 (AFB II): Zwei Dreiecke sind ähnlich mit $k = 3$. Wie verhalten sich ihre Flächeninhalte?

• A: $A' = 3 \cdot A$
• B: $A' = 6 \cdot A$
• C: $A' = 9 \cdot A$
• D: $A' = A$

C ist richtig. Die Fläche wächst mit $k^2 = 9$ (aus der Vorgängereinheit).

• A: Häufiger Fehler — lineares Denken ($k$ statt $k^2$). Die Fläche hat zwei Dimensionen!

Frage 6 (AFB II): Wie erkennt man entsprechende Seiten in ähnlichen Dreiecken?

• A: Sie sind gleich lang
• B: Sie liegen dem gleichen Winkel gegenüber
• C: Sie haben den gleichen Buchstaben
• D: Sie sind die kürzesten Seiten

B ist richtig. Entsprechende Seiten liegen dem gleichen Winkel gegenüber.

• A: Bei ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seiten gerade NICHT gleich lang (außer bei $k = 1$, also Kongruenz) — das ist F5.
• C: Buchstaben können irreführen, wenn die Zuordnung nicht $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$ ist.
• D: Die kürzeste Seite des einen entspricht der kürzesten des anderen — das stimmt zufällig, aber das Kriterium ist die Lage (Winkel), nicht die relative Größe.

Frage 7 (AFB II): Zwei Vierecke haben alle Winkel gleich. Sind sie ähnlich?

• A: Ja, immer
• B: Ja, wenn es Dreiecke wären
• C: Nicht unbedingt — man muss auch die Seitenverhältnisse prüfen
• D: Nein, nie

C ist richtig. Bei Vielecken (nicht Dreiecken!) reichen gleiche Winkel nicht aus — man braucht zusätzlich gleiche Seitenverhältnisse (F2).

• A: Falsch — Gegenbeispiel: Rechteck $2 \times 6$ und $3 \times 4$.
• B: Die Aussage wäre für Dreiecke korrekt, aber die Frage bezieht sich auf Vierecke.

Frage 8 (AFB III): Warum genügen bei Dreiecken die Winkel allein für Ähnlichkeit?

• A: Weil Dreiecke nur drei Seiten haben
• B: Weil die Innenwinkelsumme $180°$ beträgt und der dritte Winkel festgelegt ist — damit ist das Dreieck bis auf Größe bestimmt
• C: Weil Dreiecke starr sind
• D: Das ist eine Konvention, keine Begründung

B ist richtig. Die Innenwinkelsumme $180°$ bewirkt, dass zwei Winkel den dritten festlegen. Ein Dreieck mit festen Winkeln kann nur in der Größe variieren — nicht in der Form. Bei Vierecken ($360°$ Innenwinkelsumme, 4 Winkel) lassen drei Winkel den vierten fest, aber die Seiten können trotzdem verschieden proportioniert sein.

• C: Dreiecke sind zwar starr (im Sinne der Kongruenzsätze), aber das erklärt nicht direkt die Ähnlichkeit.

Frage 9 (AFB III): Ein Quadrat hat die Seitenlänge $4\,\text{cm}$. Lisa verlängert jede Seite um $2\,\text{cm}$. Ist das neue Quadrat ähnlich zum alten?

• A: Ja, weil beide Quadrate sind
• B: Ja, mit $k = 1{,}5$
• C: Nein, weil $+2$ keine Streckung ist
• D: Man kann es nicht entscheiden

A ist richtig. Alle Quadrate sind zueinander ähnlich! Das neue Quadrat hat Seitenlänge $6\,\text{cm}$, der Streckfaktor ist $k = \frac{6}{4} = 1{,}5$.

Aber Achtung: Lisas Methode (jede Seite $+2\,\text{cm}$) ist trotzdem KEIN korrektes Verfahren für eine zentrische Streckung! Es funktioniert nur zufällig bei Quadraten, weil alle Seiten gleich lang sind. Bei einem Rechteck $2 \times 4$ → $4 \times 6$: Seitenverhältnis $1:2$ wird zu $2:3$ — NICHT ähnlich! (F3)

Frage 10 (AFB III): Was ist der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit?

• A: Kongruent = gleiche Winkel, ähnlich = gleiche Seitenlängen
• B: Ähnlich = gleiche Form, kongruent = gleiche Form UND gleiche Größe
• C: Ähnlich = gleiche Seitenlängen, kongruent = gleiche Winkel
• D: Es gibt keinen Unterschied

B ist richtig. Ähnliche Figuren haben die gleiche Form (gleiche Winkel, gleiche Seitenverhältnisse), kongruente Figuren haben zusätzlich die gleiche Größe (gleiche Seitenlängen). Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit mit $k = 1$.

• A: Vertauscht die Begriffe (F7).
• C: Ebenfalls vertauscht.

Diese Aufgabe soll ohne KI-Unterstützung gelöst werden.

Bildschirme und Filme gibt es in verschiedenen Formaten:

(a) Welche Formate sind zueinander ähnlich (gleiche Proportionen)?

(b) Du schaust einen Film im Cinemascope-Format ($2{,}35 : 1$) auf einem $16:9$-Bildschirm. Oben und unten bleiben schwarze Balken. Erkläre, warum.

(c) Dein Fernseher hat das Format $16:9$ und eine Bildschirmdiagonale von $55\,\text{Zoll}$ ($\approx 140\,\text{cm}$). Welche Breite und Höhe hat der Bildschirm? (Tipp: Satz des Pythagoras)

Ein DIN-A4-Blatt hat die Maße $210\,\text{mm} \times 297\,\text{mm}$. Ein DIN-A3-Blatt hat die Maße $297\,\text{mm} \times 420\,\text{mm}$.

(a) Berechne das Seitenverhältnis (lange Seite : kurze Seite) von DIN A4 und DIN A3. Runde auf 3 Nachkommastellen.

(b) Sind DIN A3 und DIN A4 zueinander ähnliche Rechtecke? Begründe.

(c) Beim Kopieren kann man von A4 auf A3 vergrößern. Welchen Vergrößerungsfaktor nutzt der Kopierer?

Diese Aufgabe soll ohne KI-Unterstützung gelöst werden.

Erkläre, warum bei Dreiecken die Winkel allein für Ähnlichkeit genügen, bei Vierecken aber nicht. Bearbeite dazu die folgenden Schritte:

(a) Zwischenschritt: $\triangle ABC$ hat $\alpha = 50°$ und $\beta = 70°$. Berechne $\gamma$.

(b) Erkläre: Wenn zwei Dreiecke die gleichen Winkel $\alpha$ und $\beta$ haben, müssen sie dann auch den gleichen Winkel $\gamma$ haben? Warum?

(c) Warum legt das die Form des Dreiecks fest (aber nicht die Größe)?

(d) Gegenbeispiel für Vierecke: Gib zwei Vierecke an, die alle Winkel gleich haben, aber NICHT ähnlich sind.

(e) Erkläre in 2–3 Sätzen: Was ist der grundlegende Unterschied zwischen Dreiecken und Vierecken in Bezug auf Ähnlichkeit?