Zentrische Streckung

Vergleiche deine freihändige Vergrößerung eines Dreiecks (zeichne ein Dreieck und versuche es „aus dem Auge" doppelt so groß zu zeichnen) mit der zentrischen Streckung in GeoGebra.

(a) Was ist der Unterschied? (b) Warum braucht man das Zentrum $S$ und die Strahlen?

Aufgabe: Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(3|4)$, $B(5|1)$ und $C(8|4)$ sowie $S(0|0)$. Führe eine zentrische Streckung mit $k = -0{,}5$ durch.

Schritt 1 — Ansatz: Wir benutzen die Formel $P' = S + k \cdot (P - S)$. Da $S = (0|0)$, vereinfacht sich das zu $P' = k \cdot P$. Der Faktor $k = -0{,}5$ ist negativ, also liegt das Bild auf der anderen Seite von $S$.

Schritt 2 — Einsetzen:

$A' = (-0{,}5) \cdot (3|4) = (-1{,}5|-2)$

Schritt 3 — Berechnung für alle Eckpunkte:

$B' = (-0{,}5) \cdot (5|1) = (-2{,}5|-0{,}5)$ $C' = (-0{,}5) \cdot (8|4) = (-4|-2)$

Schritt 4 — Interpretation und Plausibilität:

Die Bildfigur liegt im III. Quadranten (negative $x$- und $y$-Werte) — auf der gegenüberliegenden Seite von $S$. Das passt zu $k < 0$.

Die Bildseitenlängen sind $|k| = 0{,}5$-mal so lang wie die Originalseiten → die Bildfigur ist halb so groß wie das Original.

Prüfung: $\overline{AB} = \sqrt{(5-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{13}$, $\overline{A'B'} = \sqrt{(-2{,}5+1{,}5)^2 + (-0{,}5+2)^2} = \sqrt{1 + 2{,}25} = \sqrt{3{,}25}$. Verhältnis: $\frac{\sqrt{3{,}25}}{\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{3{,}25}{13}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 = |k|$. ✓

Aufgabe: Das blaue Dreieck $A(2|1)$, $B(4|1)$, $C(3|3)$ wurde durch eine zentrische Streckung auf das rote Dreieck $A'(4|2)$, $B'(8|2)$, $C'(6|6)$ abgebildet. Bestimme das Streckzentrum $S$ und den Streckfaktor $k$.

Schritt 1 — Ansatz: Wir bestimmen zuerst $k$ und dann $S$.

Aus der Formel $P' = S + k \cdot (P - S)$ folgt durch Subtraktion zweier Gleichungen:

$A' - B' = k \cdot (A - B)$

Das heißt: Der Vektor zwischen zwei Bildpunkten ist das $k$-Fache des Vektors zwischen den Originalpunkten.

Schritt 2 — k berechnen:

$A' - B' = (4-8\;|\;2-2) = (-4\;|\;0)$ $A - B = (2-4\;|\;1-1) = (-2\;|\;0)$ $(-4\;|\;0) = k \cdot (-2\;|\;0) \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-4}{-2} = 2$

Schritt 3 — S berechnen:

Aus $A' = S + k \cdot (A - S) = S \cdot (1-k) + k \cdot A$ folgt:

$S = \frac{A' - k \cdot A}{1 - k} = \frac{(4|2) - 2 \cdot (2|1)}{1 - 2} = \frac{(4-4\;|\;2-2)}{-1} = \frac{(0|0)}{-1} = (0|0)$

Schritt 4 — Prüfung mit drittem Punkt:

$C' = S + k \cdot C = (0|0) + 2 \cdot (3|3) = (6|6)$ ✓

Ergebnis: $S = (0|0)$, $k = 2$.

Plausibilität: $k = 2 > 1$ → Vergrößerung. $k > 0$ → Bild auf gleicher Seite von $S$. Das passt zur Zeichnung: Das rote Dreieck ist doppelt so groß und liegt weiter vom Ursprung entfernt.

Gegeben: $S(1|1)$, $k = 3$, Dreieck mit $A(2|3)$, $B(4|2)$, $C(3|5)$.

Berechne die Bildpunkte:

$A' = S + k \cdot (A - S) = (1|1) + 3 \cdot \big((2|3) - (1|1)\big) = (1|1) + 3 \cdot (\_\_|\_\_) = (\_\_|\_\_)$

$B' = (1|1) + 3 \cdot (3|1) = (1 + 9\;|\;1 + 3) = (10|4)$

$C' = (1|1) + 3 \cdot (2|4) = (\_\_|\_\_)$

Überprüfe: $\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = \_\_$

Zeichne das Dreieck $ABC$ mit $A(2|1)$, $B(4|-1)$ und $C(4|5)$ in ein Koordinatensystem. Führe eine zentrische Streckung mit $S(1|1)$ und $k = 2$ durch.

(a) Berechne die Bildpunkte. (b) Zeichne Original und Bild. (c) Prüfe: Sind die Seitenlängen des Bildes das Doppelte der Originalseiten?

Bei einer zentrischen Streckung mit $k = 3$ wird die Fläche $\_\_$-mal so groß.

• A: 3-mal (linear)
• B: 6-mal
• C: 9-mal
• D: 27-mal

Strecke das Dreieck $ABC$ mit $A(1|2)$, $B(3|1)$, $C(2|4)$ zentrisch mit $S(0|0)$ und $k = 2$.

Berechne die Bildpunkte und zeichne beide Dreiecke.

Strecke das Dreieck aus Aufgabe 1 zentrisch mit $S(2|1)$ und $k = 0{,}5$.

Strecke das Viereck $ABCD$ mit $A(0|1)$, $B(5|1)$, $C(4|4)$, $D(1|3)$ am Streckzentrum $S(1|1)$ mit $k = -2$.

Das Dreieck $A'B'C'$ mit $A'(-6|-3)$, $B'(-15|-6)$, $C'(-3|-9)$ ist durch zentrische Streckung aus $\triangle ABC$ mit $A(2|1)$, $B(5|2)$, $C(1|3)$ entstanden. Bestimme $S$ und $k$.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt $18\,\text{cm}^2$. Es wird zentrisch mit $k = 2{,}5$ gestreckt. Berechne den Flächeninhalt des Bilddreiecks, ohne die Bildseiten zu messen.

Untersuche, ob die blaue Figur durch eine zentrische Streckung aus der roten entstanden sein kann. Begründe deine Entscheidung.

(a) Blaues Quadrat $2 \times 2$, rotes Quadrat $4 \times 4$ — einander entsprechende Seiten parallel.

(b) Blaues Rechteck $1 \times 2$, rotes Rechteck $2 \times 2$ — nicht alle Seitenverhältnisse gleich.

(c) Blauer Kreis Radius 1, roter Kreis Radius 1,5.

Beschreibe jeweils, welche Abbildung(en) die eine Figur in die andere überführen. Ist es eine Kongruenzabbildung, eine zentrische Streckung, oder eine Kombination?

(a) $\triangle ABC$ mit $A(1|1), B(3|1), C(2|3)$ → $\triangle A'B'C'$ mit $A'(4|1), B'(6|1), C'(5|3)$

(b) $\triangle ABC$ wie oben → $\triangle A'B'C'$ mit $A'(2|2), B'(6|2), C'(4|6)$

(c) $\triangle ABC$ wie oben → $\triangle A'B'C'$ mit $A'(5|2), B'(9|2), C'(7|6)$

Strecke das Viereck $ABCD$ mit $A(0|1)$, $B(5|1)$, $C(4|4)$, $D(1|3)$ am Streckzentrum $S(1|1)$ mit $k = -2$. Zeichne und gib die Bildkoordinaten an.

Ein Dreieck wird zentrisch gestreckt. Gegeben: $A'(-6|-3)$, $B'(-15|-6)$, $C'(-3|-9)$ und $A(2|1)$, $B(5|2)$, $C(1|3)$. Bestimme $S$ und $k$.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt $12\,\text{cm}^2$. Es wird mit $k = 1{,}5$ zentrisch gestreckt. Berechne den Flächeninhalt des Bilddreiecks.

„Bei einer zentrischen Streckung mit $k = 2$ verdoppelt sich der Flächeninhalt."

Beurteile diese Aussage. Begründe mit einer Rechnung und einer Zeichnung.

Frage 1 (AFB I): Bei $S(0|0)$ und $k = 3$ wird $P(2|4)$ abgebildet auf:

• A: $(6|4)$
• B: $(6|12)$
• C: $(5|7)$
• D: $(2|12)$

Frage 2 (AFB I): Der Streckfaktor $k = 0{,}5$ bewirkt:

• A: Vergrößerung auf das Doppelte
• B: Verkleinerung auf die Hälfte
• C: Punktspiegelung
• D: Keine Änderung

Frage 3 (AFB I): Bei zentrischer Streckung mit $k = -3$ wird die Figur:

• A: 3-mal kleiner, auf der gleichen Seite von S
• B: 3-mal kleiner, auf der anderen Seite von S
• C: 3-mal größer, auf der gleichen Seite von S
• D: 3-mal größer, auf der anderen Seite von S

Frage 4 (AFB II): Zwei Dreiecke sind gegeben. Alle drei Paare einander entsprechender Seiten sind parallel. Was folgt?

• A: Die Dreiecke sind kongruent
• B: Die Dreiecke sind durch eine Verschiebung verbunden
• C: Das eine könnte durch zentrische Streckung aus dem anderen entstanden sein
• D: Nichts — parallele Seiten beweisen nichts

Frage 5 (AFB II): Bei $k = 3$ wird die Fläche einer Figur:

• A: 3-mal so groß
• B: 6-mal so groß
• C: 9-mal so groß
• D: 27-mal so groß

Frage 6 (AFB II): Das Streckzentrum $S$ liegt auf einem Eckpunkt $A$ der Figur. Was gilt für $A'$?

• A: $A'$ liegt auch auf $A$ (Fixpunkt)
• B: $A'$ liegt auf der anderen Seite von $S$
• C: $A'$ liegt im Unendlichen
• D: Das ist nicht möglich

Frage 7 (AFB II): Die Fläche einer Bildfigur ist 4-mal so groß wie die Originalfläche. Was ist $|k|$?

• A: $k = 4$
• B: $k = 2$
• C: $k = \sqrt{2}$
• D: $k = 16$

Frage 8 (AFB III): Bei zentrischer Streckung bleiben die Winkel gleich. Warum?

• A: Weil die Figur nur verschoben wird
• B: Weil entsprechende Seiten parallel sind und ein Strahl sie schneidet — dadurch entstehen Stufenwinkel
• C: Weil die Seitenlängen gleich bleiben
• D: Das ist ein Zufall, der nicht begründet werden kann

Frage 9 (AFB III): Ein Rechteck $1 \times 3$ wird zentrisch zu $2 \times 6$. Ein Rechteck $1 \times 3$ wird zu $2 \times 4$. Welche Aussage ist richtig?

• A: Beide sind zentrische Streckungen
• B: Nur die erste ist eine zentrische Streckung
• C: Nur die zweite ist eine zentrische Streckung
• D: Keine ist eine zentrische Streckung

Frage 10 (AFB III): Kim sagt: „Wenn ich ein Quadrat zentrisch strecke, ist das Bild auch ein Quadrat." Hat Kim recht?

• A: Ja, immer
• B: Nur bei positivem k
• C: Nur bei k = 1
• D: Nein, das Bild ist ein Rechteck

Zeichne mithilfe zentrischer Streckungen einen Fischschwarm: Strecke die gegebene Fischfigur mit verschiedenen Streckfaktoren ($k = 0{,}5$; $k = 1{,}5$; $k = -1$) von verschiedenen Zentren aus.

(a) Welche Blickrichtungen haben die Fische bei positivem $k$? Bei negativem $k$?

(b) Was passiert bei $k = -1$? Erkläre.

„Bei zentrischer Streckung mit $k = 2$ verdoppelt sich der Flächeninhalt."

(a) Berechne den Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge $2\,\text{cm}$ vor und nach der Streckung mit $k = 2$. Stimmt die Aussage?

(b) Berechne dasselbe für $k = 3$. Was fällt dir auf?

(c) Begründe, warum die Fläche mit $k^2$ wächst und nicht mit $k$.