Strahlensätze

Aufgabe: In einer Strahlensatzfigur (V-Figur) gilt $g \parallel h$. Gegeben: $SA = 4\,\text{cm}$, $AA' = 2\,\text{cm}$, $SB = 3\,\text{cm}$, $A'B' = 4{,}5\,\text{cm}$.

(a) Berechne $BB'$ mithilfe des 1. Strahlensatzes.

(b) Berechne $AB$ mithilfe des 2. Strahlensatzes.

Schritt 1 — Ansatz: Zuerst bestimmen wir die Gesamtstrecke: $SA' = SA + AA' = 4 + 2 = 6\,\text{cm}$.

Für (a) brauchen wir eine fehlende Strecke auf einem Strahl → 1. Strahlensatz.

Für (b) brauchen wir eine fehlende Strecke auf einer Parallelen → 2. Strahlensatz.

Schritt 2 — 1. Strahlensatz (Teil a):

$\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$

$\frac{6}{4} = \frac{SB'}{3}$

$SB' = \frac{6 \cdot 3}{4} = 4{,}5\,\text{cm}$

Also: $BB' = SB' - SB = 4{,}5 - 3 = 1{,}5\,\text{cm}$.

Schritt 3 — 2. Strahlensatz (Teil b):

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA}$

$\frac{4{,}5}{AB} = \frac{6}{4}$

$AB = \frac{4{,}5 \cdot 4}{6} = \frac{18}{6} = 3\,\text{cm}$

Schritt 4 — Plausibilität:

Das Verhältnis ist $\frac{SA'}{SA} = \frac{6}{4} = 1{,}5$. Prüfung: $\frac{SB'}{SB} = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5$ ✓ und $\frac{A'B'}{AB} = \frac{4{,}5}{3} = 1{,}5$ ✓. Alle Strecken auf der Parallelen $h$ sind $1{,}5$-mal so lang wie die auf $g$.

Aufgabe: Ein Stützpfeiler wirft einen $4{,}50\,\text{m}$ langen Schatten. Daneben steht eine $1{,}80\,\text{m}$ große Person mit einem $1{,}50\,\text{m}$ langen Schatten. Berechne die Höhe $h$ des Stützpfeilers.

Schritt 1 — Strahlensatzfigur identifizieren:

Die Sonnenstrahlen sind (annähernd) parallel. Person und Stützpfeiler stehen senkrecht auf dem Boden — das sind die „Parallelen" in unserer Strahlensatzfigur!

• $S$ = der Punkt, an dem die Schattenlinien (die Sonnenstrahlen am Boden entlang) zusammenlaufen würden
• Die Strahlen verlaufen vom Fußpunkt des Stützpfeilers und der Person zur jeweiligen Schattenspitze
• Die Parallelen sind: Person ($1{,}80\,\text{m}$) und Stützpfeiler ($h$)

Schritt 2 — Verhältnisgleichung aufstellen (2. Strahlensatz):

Die Höhen (auf den „Parallelen") verhalten sich wie die Schatten (auf den „Strahlen"):

$\frac{h}{1{,}80} = \frac{4{,}50}{1{,}50}$

Schritt 3 — Lösen:

$h = 1{,}80 \cdot \frac{4{,}50}{1{,}50} = 1{,}80 \cdot 3 = 5{,}40\,\text{m}$

Schritt 4 — Plausibilität:

Der Schatten des Pfeilers ($4{,}50\,\text{m}$) ist $3$-mal so lang wie der Schatten der Person ($1{,}50\,\text{m}$). Also muss der Pfeiler $3$-mal so hoch sein wie die Person: $3 \cdot 1{,}80 = 5{,}40\,\text{m}$. ✓

Ein Dachgeschoss ist $4{,}80\,\text{m}$ hoch. Auf $3{,}20\,\text{m}$ Höhe wird eine Decke eingezogen. Der Boden ist $7{,}20\,\text{m}$ breit. Wie breit ist die Decke?

Schritt 1 — Strahlensatzfigur erkennen:

$S$ = Dachspitze. Die Parallelen sind Boden (auf Höhe $0$) und Decke (auf Höhe $3{,}20\,\text{m}$).

Abstand $S$ – Decke: $4{,}80 - 3{,}20 = 1{,}60\,\text{m}$.

Abstand $S$ – Boden: $4{,}80\,\text{m}$.

Schritt 2 — 2. Strahlensatz:

$\frac{\text{Deckenbreite}}{7{,}20} = \frac{\_\_}{\_\_}$

Schritt 3 — Lösen:

Deckenbreite $= 7{,}20 \cdot \_\_ = \_\_\,\text{m}$

Ein Baum wirft einen $4{,}2\,\text{m}$ langen Schatten. Eine $1{,}70\,\text{m}$ große Person steht daneben und hat einen $1{,}4\,\text{m}$ langen Schatten.

(a) Zeichne die Strahlensatzfigur und benenne $S$, die Strahlen und die Parallelen.

(b) Berechne die Höhe des Baums.

(c) Erkläre, warum die Schattenmethode funktioniert.

In einer V-Figur gilt $g \parallel h$, $SA = 6\,\text{cm}$, $SA' = 9\,\text{cm}$, $SB = 8\,\text{cm}$. Berechne $SB'$.

In einer X-Figur gilt $g \parallel h$, $SA = 3{,}6\,\text{cm}$, $SA' = 5{,}4\,\text{cm}$, $SB = 4{,}0\,\text{cm}$. Berechne $SB'$.

In einer Strahlensatzfigur gilt $g \parallel h$, $SA = 5\,\text{cm}$, $SA' = 8\,\text{cm}$, $AB = 4\,\text{cm}$. Berechne $A'B'$.

Ein Dach hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Dachspitze liegt $6\,\text{m}$ über dem Boden. Auf einer Höhe von $4\,\text{m}$ wird ein waagerechter Dachbalken eingezogen. Der Boden ist $9\,\text{m}$ breit.

Wie lang ist der Dachbalken?

Teile eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $10\,\text{cm}$ mithilfe des Strahlensatzes in $7$ gleiche Teile.

Beschreibe das Verfahren schrittweise.

$\triangle ABC$ hat die Winkel $\alpha = 35°$, $\beta = 90°$, $\gamma = 55°$ und die Seiten $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $c = 5\,\text{cm}$.

$\triangle DEF$ hat die Winkel $\delta = 35°$, $\epsilon = 90°$. Die Seite $d = 4{,}5\,\text{cm}$.

(a) Sind die Dreiecke ähnlich? Begründe.

(b) Bestimme $k$ und berechne $e$ und $f$.

In der Figur gilt $g \parallel h$. Gegeben: $SA = 7$, $AA' = 3{,}5$, $SB' = 15$. Berechne $SB$.

In einer Strahlensatzfigur mit $g \parallel h$ entstehen die Dreiecke $\triangle SAB$ und $\triangle SA'B'$.

(a) Begründe, warum $\triangle SAB \sim \triangle SA'B'$.

(b) Welcher Ähnlichkeitssatz wird verwendet?

(c) Welche Rolle spielen die Stufenwinkel?

In einer V-Figur: $SA = 6\,\text{cm}$, $SA' = 9\,\text{cm}$, $SB = 4\,\text{cm}$.

(a) Berechne $SB'$.

(b) Berechne $BB'$.

Ein Kirchturm wirft einen $12\,\text{m}$ langen Schatten. Eine $1{,}60\,\text{m}$ große Person steht daneben und hat einen $0{,}80\,\text{m}$ langen Schatten.

(a) Zeichne die Strahlensatzfigur und benenne die Bestandteile.

(b) Berechne die Höhe des Kirchturms.

In einer Strahlensatzfigur: $AB = 5\,\text{cm}$, $A'B' = 7{,}5\,\text{cm}$, $SA = 8\,\text{cm}$.

(a) Berechne $SA'$.

(b) Berechne $AA'$.

Ein Schüler sagt: „Der 1. Strahlensatz gilt auch, wenn die Geraden $g$ und $h$ NICHT parallel sind — die Verhältnisse sind dann eben nicht gleich, aber der Satz gilt trotzdem."

Beurteile diese Aussage. Erkläre, warum Parallelität eine notwendige Voraussetzung ist.

Frage 1 (AFB I): In einer V-Figur: $SA = 5$, $SA' = 10$, $SB = 7$. Wie groß ist $SB'$?

• A: $12$
• B: $14$
• C: $3{,}5$
• D: $35$

Frage 2 (AFB I): Der 2. Strahlensatz vergleicht:

• A: Abschnitte auf den Strahlen miteinander
• B: Abschnitte auf den Parallelen mit Abschnitten auf den Strahlen
• C: Winkel in den Teildreiecken
• D: Flächeninhalte der Teildreiecke

Frage 3 (AFB I): In welcher Figur sind die Strahlensätze anwendbar?

• A: Nur in der V-Figur
• B: Nur in der X-Figur
• C: In V-Figur und X-Figur
• D: Nur wenn die Parallelen waagerecht sind

Frage 4 (AFB II): $SA = 4$, $AA' = 2$. Ein Schüler setzt in den 1. SS ein: $\frac{AA'}{SA'} = \frac{BB'}{SB'}$. Ist das korrekt?

• A: Ja, das ist eine gültige Form des 1. SS
• B: Nein — korrekt wäre $\frac{AA'}{SA} = \frac{BB'}{SB}$
• C: Nein — im 1. SS kommen keine Teilstrecken vor
• D: Ja, wenn man $SA' = SA + AA' = 6$ einsetzt

Frage 5 (AFB II): Ein Gebäude wirft $6\,\text{m}$ Schatten. Eine Person ($1{,}75\,\text{m}$) hat $1{,}25\,\text{m}$ Schatten. Die Gebäudehöhe ist:

• A: $6\,\text{m}$
• B: $8{,}4\,\text{m}$
• C: $4{,}29\,\text{m}$
• D: $10{,}5\,\text{m}$

Frage 6 (AFB II): Warum gilt der Strahlensatz nur bei parallelen Geraden?

• A: Weil die Figur sonst nicht schön aussieht
• B: Weil ohne Parallelität keine Stufenwinkel entstehen und die Dreiecke nicht ähnlich sind
• C: Weil die Formel nur für parallele Geraden definiert ist
• D: Er gilt auch ohne Parallelität

Frage 7 (AFB II): Eine $10\,\text{cm}$ lange Strecke soll in $7$ gleiche Teile geteilt werden. Welches Verfahren nutzt den Strahlensatz?

• A: $10 \div 7 = 1{,}428...\,\text{cm}$ abtragen — fertig
• B: Hilfsstrahl, 7 gleiche Abschnitte, letzen Punkt mit B verbinden, Parallelen durch die anderen Punkte
• C: Zirkelschlag mit Radius $\frac{10}{7}$
• D: Die Strecke 7-mal hintereinander abtragen

Frage 8 (AFB III): Die Strahlensätze sind:

• A: Neue Sätze, die nichts mit Ähnlichkeit zu tun haben
• B: Direkte Konsequenzen der Ähnlichkeit von Dreiecken
• C: Nur für rechtwinklige Dreiecke gültig
• D: Näherungen, die nicht exakt gelten

Frage 9 (AFB III): Bei der Schattenmethode misst man zwei Schatten und eine Höhe. Was liefert die zweite Höhe?

• A: Man braucht keine zweite Messung — der Schatten allein genügt
• B: Die Person liefert das Referenzverhältnis (Höhe/Schatten), das dann auf das Gebäude übertragen wird
• C: Die Person dient nur zur Orientierung
• D: Man braucht beide Höhen — sonst funktioniert es nicht

Frage 10 (AFB III): Zwei Geraden $g$ und $h$ werden von zwei Strahlen durch $S$ geschnitten. Die Verhältnisse $\frac{SA'}{SA}$ und $\frac{SB'}{SB}$ sind nicht gleich. Was folgt?

• A: Man hat falsch gemessen
• B: $g$ und $h$ sind nicht parallel
• C: Es liegt eine X-Figur vor
• D: Der Strahlensatz gilt trotzdem

Du möchtest die Entfernung $\overline{AB}$ über einen See bestimmen, ohne ihn zu überqueren.

Dazu gehst du wie folgt vor: Du wählst einen Punkt $S$ am Ufer und misst:

• Auf dem Strahl $\overrightarrow{SA}$: den Punkt $C$ mit $SC = 36\,\text{m}$ (am Ufer).
• Auf dem Strahl $\overrightarrow{SB}$: den Punkt $D$ mit $SD = 40\,\text{m}$ (am Ufer).
• Die Strecke $\overline{CD} = 35\,\text{m}$ (am Ufer).
• Außerdem: $SA = 108\,\text{m}$.

Es gilt $CD \parallel AB$ (durch geschickte Wahl der Punkte).

(a) Zeichne eine Skizze mit allen gegebenen Größen.

(b) Berechne $SB$.

(c) Berechne die Entfernung $AB$ über den See.

Leonardo da Vinci beschrieb folgende Methode zur Bestimmung einer Flussbreite:

Du stehst am Ufer (Punkt $A$). Vor dir, am Boden, steckst du einen Stab senkrecht in die Erde. Die Stabspitze ragt $BC = 1\,\text{m}$ über deine Augenhöhe. Der Abstand deiner Augen zum Stab beträgt $AB = 20\,\text{cm} = 0{,}20\,\text{m}$. Deine Augenhöhe über dem Boden ist $AD = 1{,}50\,\text{m}$.

Du visierst über die Stabspitze zum gegenüberliegenden Ufer. Dort, wo deine Sichtlinie den Boden trifft, liegt Punkt $E$.

Berechne die Flussbreite $\overline{DE}$.

Zeige, dass aus dem 1. Strahlensatz $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$ die Erweiterung $\frac{AA'}{SA} = \frac{BB'}{SB}$ folgt.

(a) Zwischenschritt: Setze $SA' = SA + AA'$ und $SB' = SB + BB'$ in den 1. Strahlensatz ein.

(b) Forme die Gleichung um, bis du $\frac{AA'}{SA} = \frac{BB'}{SB}$ erhältst.