Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Schreibe auf, bevor du weiterliest: Ist es besser zu wechseln, besser zu bleiben, oder ist es egal? Begründe.

1. Trage deine Vermutung ein: Wechseln / Bleiben / Egal.

2. Strategie „immer wechseln", 30 Durchgänge — relative Häufigkeit notieren.

3. Strategie „immer bleiben", 30 Durchgänge — relative Häufigkeit notieren.

4. Schieberegler auf 1000. Gegen welchen Wert stabilisiert sich „Wechseln"? „Bleiben"?

5. Vergleiche mit deiner Vermutung.

Bestimme $P(\text{Gewinn})$ für die Strategien „bleiben" und „wechseln".

Warum teilen wir durch $P(R)$ und nicht durch $P(M)$? Was würde sich ändern, wenn wir $P_M(R)$ berechnen?

(a) $P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{\text{\_\_\_}}{\text{\_\_\_}} =$ ___

(b) $P_E(\overline{F}) = \frac{\text{\_\_\_}}{\text{\_\_\_}} =$ ___

(c) $P_{\overline{E}}(F) = \frac{\text{\_\_\_}}{\text{\_\_\_}} =$ ___

(d) Prüfe: $P_E(F) + P_E(\overline{F}) =$ ___ (muss 1 sein)

(a) Berechne $P_F(K)$, $P_K(F)$, $P_{\overline{F}}(T)$ und $P_T(\overline{F})$.

(b) Zeichne die zwei Baumdiagramme (Geschlecht zuerst / Getränk zuerst).

(c) Erkläre: Warum ist $P_F(K) \neq P_K(F)$?

Aus der Restaurant-VFT:

(a) Berechne: „Wie wahrscheinlich ist Kaffee, wenn eine Frau sitzt?" Markiere den Grundwert in der VFT.

(b) Berechne: „Wie wahrscheinlich ist eine Frau, wenn Kaffee getrunken wird?" Markiere den Grundwert.

(c) Vergleiche die Ergebnisse.

Max berechnet: $P_E(F) = \frac{P(E)}{P(F)} = \frac{0{,}6}{0{,}15} = 4$.

(a) Warum kann das Ergebnis nicht stimmen?

(b) Wo liegt Max' Fehler?

(c) Berechne $P_E(F)$ korrekt mit $P(E \cap F) = 0{,}10$ und $P(E) = 0{,}60$.

Berechne: (a) $P_d(G)$, (b) $P_G(d)$, (c) $P_h(G)$. (d) Bei welchem Keks ist die Gewinnchance höher?

Berechne $P_A(B)$, $P_B(A)$, $P_{\overline{B}}(\overline{A})$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$.

Gegeben ist die VFT:

(a) Zeichne das Baumdiagramm mit $E$/$\overline{E}$ auf der ersten Stufe.

(b) Zeichne das Baumdiagramm mit $F$/$\overline{F}$ auf der ersten Stufe.

In einem Forschungsinstitut arbeiten 20 Professorinnen und 25 Studenten. $70\%$ der Professorinnen und $72\%$ der Studenten trinken bei Meetings Kaffee, die übrigen Tee.

(a) Erstelle eine Vierfeldertafel.

(b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Student ist.

(c) Bestimme $P(\text{Student} \mid \text{Kaffee})$.

(d) Bestimme $P(\text{Kaffee} \mid \text{Student})$.

Berechne Sensitivität und Spezifität. Erfüllt der Test die Mindestkriterien ($\geq 80\%$ bzw. $\geq 97\%$)?

Vervollständige die Vierfeldertafel.

Ein Balkendiagramm zeigt Ausgaben von $50\,000\,€$ und $52\,000\,€$. Die y-Achse beginnt bei $49\,000\,€$. Beurteile die Darstellung und nenne die Manipulationsmethode.

Berechne $P_A(B)$, $P_B(A)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$.

Bei einem Automodell gibt es als Sonderzubehör einen Spurassistenten ($S$) und eine Verkehrszeichenerkennung ($V$). Den Spurassistenten bestellen $30\%$. $20\%$ nehmen beide Systeme. Die Hälfte bestellt keines davon.

(a) Erstelle eine Vierfeldertafel.

(b) Bestimme $P(\text{Verkehrszeichenerkennung})$.

(c) Bestimme $P_S(V)$.

Eine Münze wird dreimal geworfen. $E$: „Beim zweiten Wurf lag Zahl oben." $F$: „Es lag dreimal Zahl oben."

Berechne $P_E(F)$ und $P_F(E)$. Beschreibe die Wahrscheinlichkeiten in Worten.

Bei einem Test werden $I$: „Person infiziert" und $P$: „Test positiv" betrachtet.

Beschreibe die Bedeutung der folgenden Wahrscheinlichkeiten und beurteile, welche eher groß bzw. klein sein sollten:

(a) $P_I(+)$ (b) $P_I(-)$ (c) $P_+(I)$ (d) $P_-(I)$

Frage 1 (AFB I): Aus einer VFT: $A \cap B = 0{,}15$, $P(A) = 0{,}5$. Berechne $P_A(B)$.

• (A) $0{,}15 \cdot 0{,}5 = 0{,}075$
• (B) $\frac{0{,}15}{0{,}5} = 0{,}3$
• (C) $\frac{0{,}5}{0{,}15} \approx 3{,}3$
• (D) $0{,}15 + 0{,}5 = 0{,}65$

Frage 2 (AFB I): Was beschreibt $P_I(+)$ bei einem medizinischen Test?

• (A) W., infiziert zu sein, wenn Test positiv
• (B) W., dass Test positiv ist, wenn Person infiziert
• (C) W., infiziert UND positiv zu sein
• (D) W., negativ getestet zu werden

Frage 3 (AFB II): Restaurant-VFT: $F \cap K = 0{,}3$, $P(F) = 0{,}4$, $P(K) = 0{,}5$. Berechne $P_F(K)$ und $P_K(F)$.

• (A) Beide gleich: $0{,}3$
• (B) $P_F(K) = 0{,}75$ und $P_K(F) = 0{,}6$
• (C) $P_F(K) = 0{,}6$ und $P_K(F) = 0{,}75$
• (D) $P_F(K) = 0{,}3$ und $P_K(F) = 0{,}3$

Frage 4 (AFB II): Im Baumdiagramm stehen an den Pfeilen der zweiten Stufe:

• (A) Absolute Häufigkeiten
• (B) Unbedingte Wahrscheinlichkeiten
• (C) Bedingte Wahrscheinlichkeiten
• (D) Randsummen der VFT

Frage 5 (AFB III): Ein Test hat Sensitivität $95\%$, Spezifität $99\%$, Inzidenz $0{,}1\%$. Lisa wird positiv getestet und sagt: „Ich bin zu $95\%$ krank." Hat sie recht?

• (A) Ja, $95\%$ ist die Sensitivität.
• (B) Nein, $P_+(I)$ ist wegen der niedrigen Inzidenz viel kleiner als $95\%$.
• (C) Nein, $P_+(I) = 99\%$ (Spezifität).
• (D) Man kann es nicht berechnen.

Frage 6 (AFB II): Sensitivität eines Tests ist $P_I(+) = 90\%$. Was sagt das über $P_+(I)$ (den positiven Vorhersagewert)?

• (A) $P_+(I) = 90\%$ — dasselbe.
• (B) $P_+(I)$ hängt von der Inzidenz ab und kann deutlich kleiner sein.
• (C) $P_+(I)$ ist immer größer als die Sensitivität.
• (D) Man kann $P_+(I)$ nicht berechnen.

Frage 7 (AFB II): Im Kugel-Beispiel: $P_R(M) = 0{,}75$ und $P_M(R) = 0{,}6$. Warum sind die Werte verschieden?

• (A) Rundungsfehler.
• (B) Die Grundwerte sind verschieden: $P(R) = 0{,}4$ vs. $P(M) = 0{,}5$.
• (C) Die Formel wurde falsch angewendet.
• (D) Die VFT ist widersprüchlich.

Frage 8 (AFB II): Max berechnet $P_E(F) = \frac{P(E)}{P(F)} = \frac{0{,}6}{0{,}15} = 4$. Warum ist das falsch?

• (A) Man muss addieren statt dividieren.
• (B) Im Zähler muss $P(E \cap F)$ stehen, nicht $P(E)$.
• (C) Im Nenner muss $P(E \cap F)$ stehen.
• (D) Das Ergebnis ist korrekt.

Frage 9 (AFB III): Derselbe Test (Sensitivität $95\%$, Spezifität $99\%$), aber jetzt in einer Risikogruppe mit Inzidenz $30\%$. Wie verändert sich $P_+(I)$?

• (A) $P_+(I)$ sinkt, weil mehr Infizierte den Test verfälschen.
• (B) $P_+(I)$ bleibt gleich — er hängt nur von Sensitivität und Spezifität ab.
• (C) $P_+(I)$ steigt stark auf ca. $98\%$.
• (D) $P_+(I)$ steigt leicht auf ca. $15\%$.

Frage 10 (AFB III): Beim Ziegenproblem hast du bei 30 Versuchen $57\%$ Gewinn mit Wechseln statt $66{,}7\%$. Ist die Theorie falsch?

• (A) Ja, das Experiment widerlegt die Theorie.
• (B) Nein, bei $n = 30$ sind Abweichungen normal. Erst bei großem $n$ konvergiert die relative Häufigkeit.
• (C) Ja, die Wahrscheinlichkeit muss $57\%$ sein.
• (D) Man kann es nicht beurteilen.

1. Stelle ein: Sensitivität $80\%$, Spezifität $97\%$, Inzidenz $3\%$. Lies $P_+(\text{krank})$ ab.

2. Vermutung aufschreiben: Was passiert bei Inzidenz $0{,}1\%$?

3. Schieberegler auf $0{,}1\%$ — vergleichen.

4. Inzidenz auf $30\%$ — $P_+(\text{krank})$ notieren.

5. In welchem Fall ist ein positiver Test am aussagekräftigsten? Warum?

Sensitivität $80\%$, Spezifität $97\%$, Inzidenz $3\%$, Einwohnerzahl $100\,000$.

(a) Erstelle eine VFT und berechne $P_+(\text{infiziert})$.

(b) Was antwortet die Ärztin bei Inzidenz $0{,}1\%$?

(c) Was bei Spezifität $99{,}9\%$ und Inzidenz $0{,}1\%$?

Eine Internetseite berechnet für einen Schnelltest (Sensitivität $80\%$, Spezifität $97\%$):

Hohe Inzidenz ($3\%$): Von $100\,000$ Getesteten werden $5\,310$ positiv getestet, davon $2\,400$ tatsächlich infiziert → ca. $55\%$ der positiven Tests sind falsch-positiv.

Niedrige Inzidenz ($0{,}015\%$): Es ergeben sich $99{,}6\%$ falsch-positive.

(a) Kontrolliere die Aussagen durch je eine VFT.

(b) Was würde passieren, wenn es gar keine Infizierten gäbe?

Wie verändert eine Zusatzinformation dein Urteil?

Nenne zwei Beispiele aus diesem Kapitel, in denen eine Information die Wahrscheinlichkeit stark verändert hat — und erkläre, warum.