Stochastische Unabhängigkeit

(a) Zeichne das Baumdiagramm für Ziehen mit Zurücklegen. Berechne $P_E(F)$ und $P(F)$.

(b) Zeichne das Baumdiagramm für Ziehen ohne Zurücklegen. Berechne $P_E(F)$ und $P(F)$.

(c) In welchem Fall gilt $P_E(F) = P(F)$? Was bedeutet das?

Im Baumdiagramm „mit Zurücklegen" sind die Pfadwahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe überall gleich ($\frac{6}{10}$ und $\frac{4}{10}$). Im Baumdiagramm „ohne Zurücklegen" ändern sie sich. Erkläre den Zusammenhang mit stochastischer Unabhängigkeit.

Ein Streichholz zündet mit $P = 95\%$. Jonas probiert zwei Hölzer.

(a) Berechne $P(\text{beide zünden})$, wenn die Zündvorgänge stochastisch unabhängig sind.

(b) Nenne Argumente, die gegen die Unabhängigkeitsannahme sprechen.

Zwei Würfel werden geworfen. $E$: „Der erste Würfel zeigt 6", $F$: „Die Augensumme ist 7".

$P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

$P(F) =$ ___ (Zähle: Wie viele der 36 Augenpaare ergeben Summe 7?)

$P(E \cap F) =$ ___ (Welche Paare haben „Erster = 6" UND „Summe = 7"?)

$P(E) \cdot P(F) =$ ___ $\cdot$ ___ $=$ ___

Vergleich: $P(E \cap F)$ ___ $P(E) \cdot P(F)$ → stochastisch __________

Zwei Würfel. $E$: „Erster zeigt 6", $G$: „Augensumme ist 8".

Prüfe, ob $E$ und $G$ stochastisch unabhängig sind.

Prüfe bei beiden Vierfeldertafeln, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Tafel 1 (sieht „ordentlich" aus):

Tafel 2 (sieht „unordentlich" aus):

$5\%$ aller Fahrgäste fahren ohne Fahrschein. Zwei nebeneinandersitzende Fahrgäste werden kontrolliert.

(a) Bestimme $P(\text{beide haben Fahrschein})$ unter der Annahme stochastischer Unabhängigkeit.

(b) Nenne zwei Argumente, die gegen die Unabhängigkeitsannahme sprechen.

Eine Münze wird zweimal geworfen. $A$: „Erste Münze zeigt Wappen." $B$: „Zweite Münze zeigt Wappen." $C$: „Beide zeigen Wappen." $D$: „Beide zeigen die gleiche Seite."

Prüfe auf stochastische Unabhängigkeit: (a) $A$ und $B$, (b) $A$ und $C$, (c) $A$ und $D$.

Ein Medikament wirkt mit $70\%$. Eine Ärztin behandelt damit zwei Patienten und behauptet: „Mit $9\%$ wirkt es bei keinem."

Erläutere, wie sie zu diesem Ergebnis kommt und was das mit stochastischer Unabhängigkeit zu tun hat.

Gegeben: $P(\overline{A}) = 0{,}3$ und $P(B) = 0{,}8$.

Ergänze die VFT so, dass $A$ und $B$:

(a) stochastisch unabhängig sind,

(b) stochastisch abhängig sind.

(a) Eiscremeverkäufe ($E$) und Sonnenbrandrate ($S$) korrelieren: $P_E(S) > P(S)$. Verursacht Eis Sonnenbrand?

(b) Storchenpopulation und Geburtenrate korrelieren in europäischen Ländern. Bringen Störche die Babys?

(c) Was ist die tatsächliche Erklärung in beiden Fällen?

Berechne $P_A(B)$ und $P_B(A)$.

Ein Diagramm zeigt den CO₂-Ausstoß als 3D-Säulen. Die hinteren Säulen wirken höher als die vorderen.

Welche Manipulationsmethode liegt vor? Wie kann man die Darstellung verbessern?

Ein Baumdiagramm zeigt: $P(A) = \frac{1}{3}$, $P_A(B) = \frac{1}{2}$, $P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{2}$.

(a) Erstelle die zugehörige Vierfeldertafel.

(b) Prüfe, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Zwei Würfel werden geworfen. $A$: „Augensumme ist 7", $B$: „Die Augenzahlen unterscheiden sich um 3."

(a) Notiere alle Augenpaare für $A$, $B$ und $A \cap B$.

(b) Prüfe, ob $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Linker Artikel: $37\%$ der jungen Erwachsenen erreichen das Abitur. Bei $53\%$ dieser Jugendlichen hatte auch mindestens ein Elternteil Abitur. Unter den Nicht-Abiturienten hatten $9\%$ mindestens ein Elternteil mit Abitur.

Rechter Artikel: $77\%$ der Kinder mit mindestens einem Abitur-Elternteil schaffen selbst das Abitur. $77\%$ der Kinder ohne Abitur-Elternteil erwerben es nicht. Abiturientenquote der Eltern: $25\%$.

(a) Stelle die Information aus dem rechten Artikel in einer VFT dar.

(b) Zeige, dass man dieser VFT auch die Informationen des linken Artikels entnehmen kann.

(c) Untersuche, ob die Ergebnisse von Kindern und Eltern stochastisch unabhängig sind. Diskutiere: Werden durch die Artikel versteckte Botschaften übermittelt?

Frage 1 (AFB I): $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}15$. Unabhängig?

• (A) Ja, $P(A) \cdot P(B) = 0{,}15 = P(A \cap B)$.
• (B) Nein, $P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \neq 0{,}15$.
• (C) Ja, weil $0{,}15 < 0{,}5$.
• (D) Man kann es nicht entscheiden.

Frage 2 (AFB I): Stochastische Unabhängigkeit von $E$ und $F$ bedeutet:

• (A) $E$ und $F$ können nicht gleichzeitig eintreten.
• (B) $P_E(F) = P(F)$
• (C) $P(E) + P(F) = 1$
• (D) $E$ und $F$ haben nichts miteinander zu tun.

Frage 3 (AFB II): Ein Baumdiagramm zeigt: $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}6$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6$. Sind $A$ und $B$ unabhängig?

• (A) Ja, weil die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe gleich sind.
• (B) Nein, weil $P(A) \neq P(B)$.
• (C) Ja, weil die erste Stufe ausgeglichen ist.
• (D) Man muss die VFT berechnen.

Frage 4 (AFB II): $P(\text{Streichholz zündet}) = 0{,}9$. $P(\text{beide zünden})$ unter Unabhängigkeit?

• (A) $0{,}9 + 0{,}9 = 1{,}8$
• (B) $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$
• (C) $1 - 0{,}9 = 0{,}1$
• (D) $\frac{0{,}9}{2} = 0{,}45$

Frage 5 (AFB II): Eine VFT ist symmetrisch: $P(A \cap B) = 0{,}2$, $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}3$, $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}3$, $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}2$. Unabhängig?

• (A) Ja, weil die Tafel symmetrisch ist.
• (B) Nein. $P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \neq 0{,}2$.
• (C) Ja, weil $P(A) = P(B) = 0{,}5$.
• (D) Ja, weil alle Zellen positiv sind.

Frage 6 (AFB II): Eisverkäufe und Sonnenbrandrate korrelieren. Was folgt?

• (A) Eis verursacht Sonnenbrand.
• (B) Sonnenbrand verursacht Eiskauf.
• (C) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, aber es liegt keine Kausalität vor.
• (D) Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

Frage 7 (AFB III): $5\%$ der Fahrgäste sind Schwarzfahrer. Zwei nebeneinandersitzende werden kontrolliert. „$P(\text{beide Schwarzfahrer}) = 0{,}05^2 = 0{,}25\%$." Unter welcher Annahme gilt das?

• (A) Laplace-Annahme
• (B) Stochastische Unabhängigkeit
• (C) Gesetz der großen Zahlen
• (D) Keine besondere Annahme

Frage 8 (AFB III): Wenn $A$ und $B$ unabhängig sind, gilt in der VFT: $a \cdot d = b \cdot c$. Was ist der erste Schritt des Beweises?

• (A) $a = P(A) \cdot P(B)$ einsetzen.
• (B) $a + b + c + d = 1$ nutzen.
• (C) $P(A) = a + b$ einsetzen.
• (D) Einen Widerspruch konstruieren.

Wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, gilt für die VFT:

Zeige: $a \cdot d = b \cdot c$.

Geführte Zwischenschritte:

Schritt 1: Aus der Unabhängigkeit folgt $a = P(A) \cdot P(B) = (a+b)(a+c)$.

Schritt 2: Analog: $d = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) =$ _____

Schritt 3: $b = P(A) \cdot P(\overline{B}) =$ _____ und $c = P(\overline{A}) \cdot P(B) =$ _____

Schritt 4: Berechne $a \cdot d$ und $b \cdot c$. Sind sie gleich?

Werbung suggeriert: Attraktive Menschen ($A$) besitzen häufiger ein Produkt ($B$): $P_A(B) > P(B)$.

(a) Konstruiere eine VFT, bei der $P_A(B) > P(B)$ gilt. Prüfe: Gilt dann auch $P_B(A) > P(A)$?

(b) Begründe allgemein: Aus $\frac{x}{x+u} > x+y$ folgt $\frac{x}{x+y} > x+u$ (mit der Tabelle $x, u, y, v$, Summe $= 1$).

(c) Welche „Botschaft" transportiert die Werbung damit?

Reihen-Leitfrage: Wie sicher kannst du einer Zahl vertrauen — und wovon hängt das ab?

Nenne je ein Beispiel aus jedem Kapitel, in dem du einer Zahl zunächst vertraut hast, aber dann durch genaueres Hinschauen ein anderes Bild bekommen hast. Was hat dir jeweils geholfen?

Kapitel-Leitfrage: Wann ändert eine Information deine Einschätzung — und wann nicht?

Nenne eine Situation, in der du stochastische Unabhängigkeit annehmen würdest — und eine, in der nicht. Begründe.