Statistiken verstehen und beurteilen

Die folgenden sechs Grafiken zeigen alle denselben Sachverhalt: einen Umsatz (in Mio. €), der in vier aufeinanderfolgenden Jahren wächst.

Schaut euch die Grafiken oberflächlich an — so, als ob ihr in der Straßenbahn einen flüchtigen Blick in die Zeitung des Nachbarn werft.

1. Sortiere die sechs Grafiken nach „Eindrucksstärke" — vom stärksten Wachstumseindruck (Platz 1) bis zum schwächsten (Platz 6).

2. Notiert eure Positionen in einer Klassentabelle. Bildet für jedes Diagramm den Mittelwert.

3. Sammelt Gründe, warum die Grafiken so unterschiedlich wirken, obwohl sie die gleichen Zahlen darstellen.

4. Zeige rechnerisch, dass der Bestand in allen Diagrammen jährlich um den Faktor $1{,}5$ wächst.

Warum macht es einen Unterschied, ob man Einnahmen durch Säulenhöhen oder durch Quadratflächen darstellt? Was passiert mit dem visuellen Eindruck, wenn sich die Kantenlänge eines Quadrats verdoppelt?

Die Grafik zeigt die Anzahl der Flüchtlinge in drei Jahren als Kreise:

• 2015: $856\,700$ (Kreisdurchmesser $4{,}0\,\text{cm}$)
• 2016: $173\,500$ (Kreisdurchmesser $2{,}4\,\text{cm}$)
• 2017: $29\,700$ (Kreisdurchmesser $1{,}0\,\text{cm}$)

(a) Prüfe: Sind die Zahlen proportional zu den Durchmessern oder zu den Flächeninhalten der Kreise?

Durchmesserverhältnis 2015/2017: $\frac{4{,}0}{1{,}0} =$ ___

Flächenverhältnis 2015/2017: $\frac{\pi \cdot 2{,}0^2}{\pi \cdot 0{,}5^2} = \frac{\_\_\_}{\_\_\_} =$ ___

Datenverhältnis 2015/2017: $\frac{856\,700}{29\,700} \approx$ ___

Proportional zu: ______________

(b) Beurteile, ob diese Grafik manipuliert ist. Begründe dein Urteil mit den Leitfragen.

Eine Grafik zum demografischen Wandel trägt die Fußnote „überhöhte Darstellung".

(a) Erläutere, welche Manipulationsmethode zum Einsatz kam.

(b) Zeichne eine neue Grafik, die die Daten ohne Manipulation veranschaulicht.

Die Einnahmen eines Unternehmens haben sich von 5 Mio. € auf 10 Mio. € verdoppelt. Welches Diagramm zeigt das korrekt?

• (A) Zwei Quadrate — das zweite hat die doppelte Kantenlänge.
• (B) Zwei Quadrate — das zweite hat die $\sqrt{2}$-fache Kantenlänge.
• (C) Zwei Säulen — die zweite hat die doppelte Höhe.
• (D) Zwei Würfel — der zweite hat die doppelte Kantenlänge.

Schlagzeile: „Der Schadstoffausstoß hat sich im letzten Jahrzehnt halbiert!"

(a) Erläutere, warum die beiden Grafiken (Fig. 3 und Fig. 4) nicht zu dieser Meldung passen, und benenne die zugehörige Manipulationsmethode.

(b) Formuliere je eine Schlagzeile, die zu den Grafiken passen würde.

Dani hat in der 9a drei Personen befragt, Tim in der 9b vier Personen. Sie präsentieren ihre Ergebnisse in Prozent (z.B. $33{,}333\%$, $75{,}000\%$).

Frau Camos sagt: „So habe ich mir das nicht vorgestellt. Damit können wir wenig anfangen."

Erläutere und bewerte die Position von Frau Camos. Die Begriffe „Stichprobenumfang", „Nachkommastellen" und „vorspiegeln" können helfen.

Ordne den Grafiken (A) bis (D) die passenden Quartalszahlen zu. Formuliere jeweils eine Begründung wie: „(A) könnte zu den Quartalen 1 und 3 gehören, weil sich die Kundenzahl verachtfacht hat."

Stelle die Daten dar:

(a) sachgerecht,

(b) so, dass der Eindruck eines dramatischen Rückgangs entsteht.

Die drei Buchstaben E, I und N werden „blind" aus einem Beutel gezogen und hintereinander gelegt. Bei 30 Versuchen ergab sich 2-mal das Wort „EIN" und 6-mal „NIE".

(a) Bestimme die relativen Häufigkeiten der beiden Wörter.

(b) Notiere alle möglichen Buchstabenfolgen und berechne die Wahrscheinlichkeiten unter der Laplace-Annahme. Vergleiche mit den beobachteten relativen Häufigkeiten.

Die Grafik zeigt die Stimmungslage in der Klasse 9a nach einem Test: 3 × 😊, 4 × 😐, 5 × 😢.

(a) Gib die absoluten Häufigkeiten der drei Emojis an.

(b) Ermittle die relativen Häufigkeiten als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent.

Die Grafik zeigt die relativen Häufigkeiten von Blutgruppen als Tropfen unterschiedlicher Größe.

(a) Miss die Grafiken und entscheide: Wurde die Höhe, die Fläche oder das Volumen zur Veranschaulichung genutzt?

(b) Begründe, ob es sich um eine sachgerechte Darstellung handelt.

Die Schlagzeile lautet: „Der Schadstoffausstoß hat sich halbiert!" Zwei Grafiken zeigen aber keinen Rückgang um die Hälfte.

Erkläre, warum die Grafiken nicht zur Meldung passen, und benenne die Manipulationsmethode.

Frage 1 (AFB I): Berechne die relative Häufigkeit: In 80 Versuchen trat Ereignis $A$ 24-mal ein.

• (A) $\frac{24}{80} = 30\%$
• (B) $\frac{24}{80} = 0{,}3 = 3\%$
• (C) $\frac{80}{24} \approx 3{,}3$
• (D) $24 \cdot 80 = 1920$

Frage 2 (AFB I): Welche Manipulationsmethode wird verwendet, wenn die y-Achse bei 950 statt bei 0 beginnt?

• (A) Falsche räumliche Darstellung
• (B) Nicht angemessene Skalierung der Achsen
• (C) Flächen statt Höhen
• (D) Keine Manipulation

Frage 3 (AFB I): In einem Laplace-Experiment gibt es 6 gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Wie groß ist $P(E)$, wenn $E$ aus 2 Ergebnissen besteht?

• (A) $\frac{6}{2} = 3$
• (B) $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• (C) $\frac{1}{6}$
• (D) $2 \cdot 6 = 12$

Frage 4 (AFB II): Die Einnahmen haben sich verdreifacht. Ein Diagramm zeigt Würfel, deren Kantenlänge sich verdreifacht hat. Welchen Eindruck erzeugt die Grafik?

• (A) Verdreifachung (korrekt)
• (B) Verneunfachung (Fläche)
• (C) Ver-27-fachung (Volumen)
• (D) Keine Verzerrung

Frage 5 (AFB II): In 50 Versuchen wurde 18-mal Kopf geworfen. Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist $P(\text{Kopf}) = 0{,}5$. Was stimmt?

• (A) Die Münze ist unfair, weil $\frac{18}{50} = 36\% \neq 50\%$.
• (B) Die relative Häufigkeit weicht ab, aber bei kleinem $n$ ist das normal.
• (C) Die Wahrscheinlichkeit muss $36\%$ sein, weil das Experiment es zeigt.
• (D) Man kann keine Aussage machen.

Frage 6 (AFB II): Eine Grafik zeigt Kreise mit Durchmessern $2\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ für Werte $100$ und $200$. Ist die Darstellung proportional?

• (A) Ja, der Durchmesser verdoppelt sich wie der Wert.
• (B) Nein, die Fläche vervierfacht sich, aber der Wert verdoppelt sich nur.
• (C) Ja, Kreise sind immer sachgerecht.
• (D) Man kann es nicht beurteilen.

Frage 7 (AFB II): Ein Diagramm enthält keine Quellenangabe und keinen Stichprobenumfang. Welche Leitfrage hilft hier?

• (A) „Sind die Achsen gleichmäßig skaliert?"
• (B) „Aus welcher Quelle stammen die Daten?"
• (C) „Sind die Zahlen proportional zu den Flächen?"
• (D) Alle drei.

Frage 8 (AFB III): Ein Unternehmen zeigt den Umsatzanstieg von $10$ auf $12$ Mio. € mithilfe von Würfeln, deren Kantenlänge im Verhältnis $10:12$ steht. Beurteile die Darstellung.

• (A) Sachgerecht, weil die Kantenlängen proportional zu den Werten sind.
• (B) Manipuliert: Die Volumina stehen im Verhältnis $10^3 : 12^3 = 1000 : 1728 \approx 1 : 1{,}73$. Der Eindruck eines $73\%$-Anstiegs entsteht, obwohl der Anstieg nur $20\%$ beträgt.
• (C) Manipuliert, aber nur leicht — Würfel sind immer sachgerecht.
• (D) Sachgerecht, weil die Flächen proportional sind.

Wähle einen Datensatz (z.B. Noten der letzten Klausur, Taschengeldbeträge, Bildschirmzeit pro Tag).

(a) Erstelle mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine sachgerechte Grafik.

(b) Erstelle eine zweite Grafik desselben Datensatzes, die bewusst manipuliert ist. Nutze mindestens eine der drei Methoden.

(c) Tausche deine manipulierte Grafik mit einem Partner. Erkenne die Manipulation und benenne die Methode.

Kann man Grafiken und Zahlen immer trauen?

Nenne eine Grafik aus deinem Alltag (Zeitung, Social Media, Werbung, Nachrichten), bei der du jetzt genauer hinschauen würdest. Was genau würdest du prüfen?