Vierfeldertafel — mit Anteilen argumentieren

Zeige durch ein Zahlenbeispiel, dass sich die Aussagen von Kim und Sascha nicht widersprechen müssen.

Im Worked Example wurden $\frac{120}{200} = 60\%$ und $\frac{120}{130} \approx 92{,}3\%$ berechnet. Beide nutzen die Zahl 120 als Zähler. Erkläre, warum die Ergebnisse trotzdem unterschiedlich sind.

Welcher Ausdruck beschreibt „geimpft und nicht erkrankt"?

• (A) $I \cup \overline{K}$
• (B) $I \cap K$
• (C) $I \cap \overline{K}$
• (D) $\overline{I} \cap \overline{K}$

1. Tippe auf Frage A: „Wie viel Prozent aller Bewohner sind geimpft?" Welche Zellen färben sich ein?

2. Tippe auf Frage B: „Wie viel Prozent der Geimpften sind nicht erkrankt?" Was hat sich geändert? Welche Zahl steht jetzt im Nenner?

3. Tippe auf Frage C: „Wie viel Prozent der Nicht-Erkrankten sind geimpft?" Vergleiche mit Frage B.

4. Formuliere eine Regel: Woran erkennst du in einer Fragestellung, welche Zahl der Grundwert ist?

Kim berechnet: „$60\%$ der Geimpften sind nicht erkrankt, denn $\frac{120}{200} = 60\%$."

(a) Prüfe Kims Lösung. Ist sie richtig?

(b) Falls falsch: Erkläre, warum man auf diesen Fehler kommt.

(c) Schreibe die richtige Lösung auf.

Marco hat einen Spamfilter an 1000 E-Mails getestet:

(a) Vervollständige die Vierfeldertafel.

(b) Berechne den Anteil der Spam-E-Mails, bei denen der Filter Alarm schlug. Grundwert = ___

(c) Berechne den Anteil der Alarm-E-Mails, die tatsächlich Spam waren. Grundwert = ___

Berechne, wie viel Prozent

(1) der Fahrgäste männlich sind, (2) der Fahrgäste online und männlich sind, (3) der männlichen Fahrgäste online sind, (4) der Online-Fahrgäste männlich sind, (5) der Offline-Fahrgäste nicht männlich sind.

(6) Erläutere, warum man bei (2) und (3) unterschiedliche Grundwerte braucht, obwohl die Aufgaben ähnlich klingen.

(a) Beschreibe die Bedeutung der Zahlen 10, 25, 35 und 65.

(b) Ordne zu: „Der Anteil der Brillenträger unter den Mädchen ist ..." und „Der Anteil der Mädchen unter den Brillenträgern ist ..." — Grundwerte: 100, 35, 60. Prozentsätze: $42\%$, $71\%$, $25\%$.

(a) Bei einer Versuchsreihe nehmen 47 Personen teil, davon sind 32 gegen Masern geimpft. 20 wurden positiv getestet, davon sind 14 nicht geimpft.

(b) Eine Arztpraxis hat 800 Patienten, davon 480 weiblich. 560 sind älter als 60. Weiblich und über 60: 400.

Wähle jeweils geeignete Symbole und erstelle eine vollständige Vierfeldertafel.

(a) Beschreibe die Bedeutung der Anteile $\frac{26}{40}$ und $\frac{26}{138}$ in Worten.

(b) Beschreibe die Ereignisse, die 14- bzw. 112-mal auftraten, und gib die formale Schreibweise an.

Vervollständige die beiden Vierfeldertafeln.

Tafel 1:

Tafel 2:

Eine Grafik zeigt den Umsatz eines Unternehmens als Kreise mit Durchmessern $2\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ für die Werte $100$ und $200$ Mio. €.

Prüfe: Sind die Daten proportional zu den Durchmessern oder zu den Kreisflächen? Ist die Darstellung sachgerecht?

In einer Klasse mit 25 Schülern spielen 8 Fußball, 10 Basketball und 7 keinen Sport.

Berechne die relativen Häufigkeiten als Bruch und Prozent.

Vervollständige die Vierfeldertafel und berechne: Wie viel Prozent der Personen mit Merkmal $A$ haben auch Merkmal $B$?

In einer Schulklasse mit 32 Kindern haben 12 schwarze Haare und 9 tragen eine Brille. 5 Kinder tragen eine Brille und haben schwarze Haare.

(a) Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel.

(b) Berechne den Anteil der Brillenträger unter den Schwarzhaarigen.

Gegeben ist die Brillenträger-VFT aus der Übung (35 Brillenträger, 60 Mädchen, 25 Mädchen mit Brille, 100 Personen).

Erläutere den Unterschied: „Der Anteil der Brillenträger unter den Mädchen" vs. „Der Anteil der Mädchen unter den Brillenträgern." Berechne beide Anteile und erkläre, warum die Ergebnisse verschieden sind.

Frage 1 (AFB I): In einer VFT ist $A \cap B = 30$, $A \cap \overline{B} = 20$, $\overline{A} \cap B = 90$, $\overline{A} \cap \overline{B} = 60$. Wie groß ist die Summe der Zeile $A$?

• (A) 120
• (B) 50
• (C) 150
• (D) 200

Frage 2 (AFB I): Was beschreibt $\overline{M} \cap B$, wenn $M$ = Mädchen und $B$ = Brillenträger?

• (A) Mädchen mit Brille
• (B) Mädchen ohne Brille
• (C) Jungen mit Brille
• (D) Jungen ohne Brille

Frage 3 (AFB II): Aus der Grippe-VFT: „Wie viel Prozent der Geimpften sind nicht erkrankt?" Der korrekte Grundwert ist:

• (A) 200 (alle Bewohner)
• (B) 140 (alle Nicht-Erkrankten)
• (C) 130 (alle Geimpften)
• (D) 120 (geimpft und nicht erkrankt)

Frage 4 (AFB II): Aus derselben VFT: $\frac{120}{130} \approx 92{,}3\%$ und $\frac{120}{140} \approx 85{,}7\%$. Beide haben den Zähler 120. Warum sind die Ergebnisse verschieden?

• (A) Rundungsfehler
• (B) Verschiedene Grundwerte (130 = Geimpfte vs. 140 = Nicht-Erkrankte)
• (C) Die Daten sind widersprüchlich
• (D) Man muss immer durch 200 teilen

Frage 5 (AFB II): Erstelle aus folgendem Text eine VFT: „22 Schülerinnen, 12 laufen 100m unter 13s, davon 10 im Hochsprung Note 2. Von den anderen 3 im Hochsprung Note 2."

Wie viele Schülerinnen haben Hochsprung-Note 2?

• (A) 10
• (B) 13
• (C) 3
• (D) 22

Frage 6 (AFB II): In einer VFT mit den Werten $M \cap Ö = 35$, Summe $M$ = 50, Summe $Ö$ = 63, Gesamt = 110. Berechne: „Wie viel Prozent der Online-Fahrgäste sind männlich?"

• (A) $\frac{35}{110} \approx 31{,}8\%$
• (B) $\frac{35}{50} = 70\%$
• (C) $\frac{35}{63} \approx 55{,}6\%$
• (D) $\frac{63}{110} \approx 57{,}3\%$

Frage 7 (AFB II): Welche zwei Anteile berechnet man, wenn man „Anteil $A$ unter $B$" und „Anteil $B$ unter $A$" vergleicht?

• (A) Beide nutzen denselben Grundwert
• (B) Der erste nutzt GW = Summe $B$, der zweite GW = Summe $A$
• (C) Beide nutzen die Gesamtzahl
• (D) Es gibt keinen Unterschied

Frage 8 (AFB III): Warum sind „Anteil der Sportler unter den Zufriedenen" und „Anteil der Zufriedenen unter den Sportlern" nicht dasselbe?

• (A) Weil die Zähler verschieden sind
• (B) Weil die Grundwerte verschieden sind: einmal Zufriedene, einmal Sportler
• (C) Weil einer der Anteile immer 100% ist
• (D) Das sind verschiedene Bezeichnungen für denselben Wert

Im letzten Jahr lebten in einem Bundesland rund 200.000 Paare ohne Trauschein gemeinsam in einem Haushalt. Dies sind fast 13% aller Paare. In etwa 27% dieser Haushalte lebten auch Kinder. Bei den verheirateten Paaren waren das gut 47%.

(a) Stelle die Angaben in einer Vierfeldertafel dar.

(b) Wie viele Ehepaare leben ohne Kinder?

(c) Wie viel Prozent aller Paare haben Kinder?

Dieselbe Tabelle, unterschiedliche Antworten. Nenne eine Situation aus dem Alltag, in der es darauf ankommt, welche Gruppe du als Bezugsgröße wählst. Zum Beispiel: „90% der zufriedenen Kunden empfehlen das Produkt weiter" — wer ist hier der Grundwert?