Kapitel 2 — Exponentialfunktionen

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

Die Definition einer Exponentialfunktion nennen und erklären — du kennst die Form $f(x) = a \cdot q^x$ und weißt, was $a$ und $q$ bedeuten.
Den Anfangswert und den Wachstumsfaktor bestimmen — du liest $a$ und $q$ aus Graphen und Wertetabellen ab.
Verdoppelungszeit und Halbwertszeit berechnen — du wendest die Formeln sicher an.
Graphen von Exponentialfunktionen skizzieren — du zeichnest den Verlauf und benennst die Eigenschaften (Asymptote, Monotonie).
Zwischen exponentieller Zunahme und Abnahme unterscheiden — du erkennst an $q > 1$ bzw. $0 < q < 1$ , ob der Graph steigt oder fällt.

Leitfrage: Wie schnell verdoppelt sich eine Bakterienkultur — und warum ist diese Zeit immer gleich?

Eine Bakterienkultur besteht aktuell aus 10 Millionen Bakterien. Die Anzahl verdoppelt sich alle 20 Minuten. Dieses Beispiel begleitet dich durch das gesamte Kapitel.

Du hast ~135 Minuten für dieses Kapitel.

Lernweg-Vorausschau

Phase 1 — Aktivierung und Exploration (30 min)
Phase 2 — Konzeptaufbau und Fading (35 min)
Phase 3 — Üben und Interleaving (40 min)
Phase 4 — Transfer und Reflexion (30 min)

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du mit diesem Kapitel startest, prüfe, ob du die folgenden Grundlagen beherrschst. Falls nicht, nutze die Auffrischungen unten.

Selbsttest Voraussetzungen

Löse die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. Klappe danach die Lösung auf.

Tipp

Falls du mehr als 2 dieser Aufgaben nicht lösen konntest, wiederhole zuerst die Potenzgesetze und arbeite Kapitel 1 nochmals durch.

Retrieval GatePflicht

Beantworte die folgenden Fragen aus dem Gedächtnis, bevor du weiterliest.

Frage 1: Der Stundenlohn steigt monatlich um den Faktor $1{,}03$ . Um wie viel Prozent steigt er pro Monat?

Frage 2: Eine Wertetabelle zeigt die Werte $200$ , $260$ , $338$ , $439{,}4$ . Handelt es sich um lineares oder exponentielles Wachstum? Bestimme den Wachstumsfaktor.

Quotienten: $\frac{260}{200} = 1{,}3$ , $\frac{338}{260} = 1{,}3$ , $\frac{439{,}4}{338} = 1{,}3$ . Konstanter Faktor → exponentielles Wachstum mit $q = 1{,}3$ .

Frage 3: Nenne ein Erkennungsmerkmal für exponentielles Wachstum in einer Wertetabelle.

Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind konstant: $\frac{f(x+1)}{f(x)} = q$ für alle $x$ .

Aktivierung und Exploration

ca. 30 Min

Retrieval Gate

Beantworte die folgenden Fragen aus dem Gedächtnis, bevor du weiterliest. Klappe dann die Lösung auf.

Productive-Failure-Block

Hinweis

Aufgabe — Versuche es selbst, bevor du die Lösung liest.

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 20 Minuten. Aktuell sind 10 Millionen Bakterien vorhanden.

Wie viele Bakterien waren es vor einer Stunde?
Wie viele werden es in einer Stunde sein?

Versuche es, ohne eine Formel zu kennen. Notiere deinen Lösungsweg.

Fehlvorstellungs-Boxen

Achtung

Typischer Fehler: "Der Graph einer Exponentialfunktion kann die x-Achse schneiden."

Gegenbeispiel: Setze $f(t) = 10 \cdot 8^t = 0$ . Das ergibt $8^t = 0$ . Aber $8^t > 0$ für jedes $t$ — eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.

Richtig: Der Graph nähert sich der $x$ -Achse beliebig an (Asymptote), berührt oder schneidet sie aber nie.

Achtung

Typischer Fehler: "Die Verdoppelungszeit hängt davon ab, wo man startet."

Gegenbeispiel: Starte bei $t = 0$ : von 10 auf 20 Mio dauert $\frac{1}{3}$ h. Starte bei $t = \frac{1}{3}$ : von 20 auf 40 Mio dauert ebenfalls $\frac{1}{3}$ h. Starte bei $t = -1$ : von 1,25 auf 2,5 Mio dauert auch $\frac{1}{3}$ h.

Richtig: Die Verdoppelungszeit ist konstant — sie hängt nur vom Wachstumsfaktor $q$ ab, nicht vom Startwert oder der Startposition.

Konzeptaufbau und Fading

ca. 35 Min

Retrieval Gate

Worked Example 1: Bakterienwachstum — Funktionsgleichung aufstellen

Selbsterklärung

Hinweis

Erkläre dir selbst: Warum ist die Basis der Exponentialfunktion $8$ und nicht $2$ ?

Worked Example 2: Anfangswert und Wachstumsfaktor aus zwei Punkten bestimmen

Selbsterklärung

Hinweis

Erkläre dir selbst: Warum berechnet man $q$ mit einer dritten Wurzel (Exponent $\frac{1}{3}$ )?

Simulation S2 — Parameter-Explorer

Hinweis

Leitfragen zur Simulation:

Setze $a = 1$ und verändere $q$ langsam von $0{,}5$ über $1{,}0$ bis $2{,}0$ . Was passiert mit dem Graphen?
Was passiert mit dem Punkt $A(0|a)$ , wenn du $a$ veränderst? Ändert sich auch die Form der Kurve?
Versuche, den Graphen so nah wie möglich an die $x$ -Achse zu bringen. Berührt er sie jemals?

Simulation S3 — Verdoppelungszeit: Klick-auf-die-Kurve

Hinweis

Leitfragen zur Simulation:

Klicke auf drei verschiedene Stellen der Kurve. Was fällt dir bei den Verdoppelungszeiten auf?
Verändere $q$ . Wie ändert sich die Verdoppelungszeit?
Schalte auf Halbwertszeit um. Gilt das gleiche Prinzip?

Completion 1 (1 Lücke): Halbwertszeit berechnen

Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffs

Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Aktuell sind 200 g vorhanden.

Schritt 1 — Ansatz aufstellen:

Die Funktion hat die Form $f(t) = a \cdot q^t$ mit $t$ in Einheiten von 30 Jahren.

Da sich der Stoff alle 30 Jahre halbiert, ist der Wachstumsfaktor pro Halbwertszeit $q_H = 0{,}5$ .

Wenn $t$ in Jahren gemessen wird: $q = 0{,}5^{1/30}$ .

Schritt 2 — Werte einsetzen:

$a = 200 \text{ g}, \quad q = 0{,}5^{1/30} \approx 0{,}9772$

$f(t) = 200 \cdot 0{,}9772^t$

Schritt 3 — Berechnung durchführen:

$f(30) = 200 \cdot 0{,}9772^{30} = 200 \cdot 0{,}5 = 100 \text{ g}$

$f(60) = 200 \cdot 0{,}9772^{60} = 200 \cdot 0{,}25 = 50 \text{ g}$

$f(90) = 200 \cdot 0{,}9772^{90} = 200 \cdot 0{,}125 = 25 \text{ g}$

Schritt 4 — Ergebnis interpretieren:

Deine Aufgabe: Interpretiere die Ergebnisse im Sachkontext. Was bedeuten die Werte $f(30)$ , $f(60)$ und $f(90)$ ? Wie viel des Stoffes ist nach 3 Halbwertszeiten noch übrig — und wird der Stoff jemals ganz verschwinden?

Textabgabe

Completion 2 (2 Lücken): Exponentialfunktion aus Graph ablesen

Funktionsgleichung aus einem Graphen ablesen

Aus einem Graphen liest du ab: $f(0) = 6$ und $f(1) = 9$ .

Schritt 1 — Ansatz aufstellen:

Aus $f(x) = a \cdot q^x$ folgt $a = f(0)$ und $q = \frac{f(1)}{f(0)}$ .

Schritt 2 — Werte einsetzen:

$a = f(0) = 6, \quad q = \frac{f(1)}{f(0)} = \frac{9}{6}$

Deine Aufgabe: Führe die Berechnung durch (Schritt 3) und interpretiere das Ergebnis (Schritt 4). Gib die vollständige Funktionsgleichung an.

Textabgabe

Fehlvorstellungs-Boxen

Achtung

Typischer Fehler: "Bei exponentiellem Zerfall wird der Wert irgendwann 0."

Gegenbeispiel: Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Nach 30 Jahren: $50\,\%$ übrig. Nach 60 Jahren: $25\,\%$ . Nach 90 Jahren: $12{,}5\,\%$ . Nach 120 Jahren: $6{,}25\,\%$ . Der Wert wird immer kleiner, aber nie 0.

Richtig: Die $x$ -Achse ( $y = 0$ ) ist eine Asymptote. Der Funktionswert $f(x) = a \cdot q^x$ ist für $a > 0$ und $q > 0$ immer positiv.

Achtung

Typischer Fehler: "Nach 2 Halbwertszeiten ist alles weg."

Gegenbeispiel: Anfangswert 200 g, HWZ 30 Jahre. Nach 1 HWZ: 100 g. Nach 2 HWZ: 50 g — das sind noch $25\,\%$ , nicht $0\,\%$ !

Richtig: Nach $n$ Halbwertszeiten ist noch $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ des Anfangswertes übrig. Nach 2 HWZ: $\frac{1}{4} = 25\,\%$ . Nach 3 HWZ: $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Es wird nie 0.

Sicherung — Merksatz

Hinweis

Merksatz: Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form

$f(x) = a \cdot q^x \quad \text{mit } a \neq 0,\; q > 0,\; q \neq 1$

heißt Exponentialfunktion.

$a = f(0)$ ist der Anfangswert (y-Achsenabschnitt).
$q$ ist der Wachstumsfaktor.
Für $q > 1$ : exponentielle Zunahme (Graph steigt).
Für $0 < q < 1$ : exponentielle Abnahme (Graph fällt).

Hinweis

Merksatz: Verdoppelungszeit und Halbwertszeit

$V = \frac{\log(2)}{\log(q)} \quad \text{(Verdoppelungszeit, für } q > 1\text{)}$

$H = \frac{\log(0{,}5)}{\log(q)} \quad \text{(Halbwertszeit, für } 0 < q < 1\text{)}$

Die Verdoppelungszeit bzw. Halbwertszeit ist konstant — sie hängt nicht vom Startwert ab.

Hinweis

Merksatz: Grapheigenschaften

Der Graph verläuft durch den Punkt $A(0|a)$ .
Der Graph hat keine Schnittpunkte mit der $x$ -Achse.
Die $x$ -Achse ( $y = 0$ ) ist eine Asymptote.
Für $q > 1$ : Der Graph steigt. Für kleine $x$ -Werte nähert er sich der $x$ -Achse an.
Für $0 < q < 1$ : Der Graph fällt. Für große $x$ -Werte nähert er sich der $x$ -Achse an.

Üben und Interleaving

ca. 40 Min

Mixed Retrieval Gate (Kapitel 1 + 2)

Geblocktes Üben

Übung 1: a und q bestimmen

Bestimme den Anfangswert $a$ und den Wachstumsfaktor $q$ der Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot q^x$ , die durch die Punkte $P(0|3)$ und $Q(2|12)$ verläuft. Gib die Funktionsgleichung an.

Textabgabe

Übung 2: Graph skizzieren

Skizziere den Graphen von $f(x) = 4 \cdot 0{,}5^x$ für $x \in [-2;\, 3]$ . Berechne dazu $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ und markiere die Asymptote.

Textabgabe

Übung 3: Verdoppelungszeit berechnen

Eine Population wächst nach $f(t) = 50 \cdot 1{,}05^t$ ( $t$ in Jahren). Berechne die Verdoppelungszeit.

Textabgabe

Interleaved Practice (Kapitel 1 + 2)

Gemischte Übung 1: Wachstumsart erkennen

Gegeben ist die Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$8$	$12$	$18$	$27$	$40{,}5$

Ist das Wachstum linear oder exponentiell? Bestimme die Funktionsgleichung.

Textabgabe

Gemischte Übung 2: Wachstumsart erkennen und Funktionsgleichung bestimmen

Gegeben ist die Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g(x)$	$10$	$14$	$18$	$22$	$26$

Ist das Wachstum linear oder exponentiell? Bestimme die Funktionsgleichung.

Textabgabe

Abgabe-Aufgaben

Funktionsgleichung aufstellen (AFB I)

Berechne $a$ und $q$ für eine Exponentialfunktion mit $f(0) = 12$ und $f(1) = 15$ . Gib die Funktionsgleichung an.

Textabgabe

Funktionsgleichung aus zwei Punkten (AFB II)

Eine Exponentialfunktion geht durch $P(2|18)$ und $Q(5|60{,}75)$ . Bestimme die Funktionsgleichung.

Textabgabe

Lukas Methode beurteilen (AFB III)

Luka behauptet: "Wenn ich Anfangswert und Verdoppelungszeit kenne, kann ich den Graphen ohne Wertetabelle zeichnen."

Erkläre Lukas Methode und beurteile, ob sie immer funktioniert.

Textabgabe

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Kapitel 2 — Exponentialfunktionen

Lernziele

Lernweg-Vorausschau

Voraussetzungen

Selbsttest Voraussetzungen

Retrieval Gate

Productive-Failure-Block

Fehlvorstellungs-Boxen

Retrieval Gate

Worked Example 1: Bakterienwachstum — Funktionsgleichung aufstellen

Selbsterklärung

Worked Example 2: Anfangswert und Wachstumsfaktor aus zwei Punkten bestimmen

Selbsterklärung

Simulation S2 — Parameter-Explorer

Parameter-Explorer: f(x) = a · q^x

Simulation S3 — Verdoppelungszeit: Klick-auf-die-Kurve

Verdoppelungszeit — Klick auf die Kurve

Completion 1 (1 Lücke): Halbwertszeit berechnen

Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffs

Completion 2 (2 Lücken): Exponentialfunktion aus Graph ablesen

Funktionsgleichung aus einem Graphen ablesen

Fehlvorstellungs-Boxen

Sicherung — Merksatz

Mixed Retrieval Gate (Kapitel 1 + 2)

Geblocktes Üben

Übung 1: a und q bestimmen

Übung 2: Graph skizzieren

Übung 3: Verdoppelungszeit berechnen

Interleaved Practice (Kapitel 1 + 2)

Gemischte Übung 1: Wachstumsart erkennen

Gemischte Übung 2: Wachstumsart erkennen und Funktionsgleichung bestimmen

Abgabe-Aufgaben

Funktionsgleichung aufstellen (AFB I)

Funktionsgleichung aus zwei Punkten (AFB II)

Lukas Methode beurteilen (AFB III)

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Frage 2 (AFB I)

Frage 3 (AFB I)

Frage 4 (AFB I)

Frage 5 (AFB I)

Frage 6 (AFB I)

Frage 7 (AFB II)

Frage 8 (AFB II)

Frage 9 (AFB II)

Frage 10 (AFB II)

Frage 11 (AFB II)

Frage 12 (AFB III)

Frage 13 (AFB III)

Frage 14 (AFB III)

Frage 15 (AFB III)

Transferaufgabe

Streckung oder Verschiebung? (Transfer)

Vernetzung und Reflexion

Musterlösungen