Kapitel 3 — Exponentialgleichungen und Logarithmen

Productive-Failure-Block

Simulation S4 — Koffein-Tracker

Bevor du das neue Werkzeug kennenlernst, erkunde den Koffeinabbau mit der Simulation.

Arbeitsaufträge zur Simulation:

1. Modus A (Exponentialfunktion): Stelle $t = 3$ ein. Wie viel Koffein ist nach 3 Stunden noch übrig?
2. Modus B (Logarithmus): Stelle den Zielwert auf 90 mg ein. Wann wird dieser Wert erreicht?
3. Wechsle zwischen Modus A und B hin und her. Welche Frage beantwortet Modus A, welche Frage beantwortet Modus B?
4. Stelle in Modus B den Zielwert auf 75 mg (50 % der Startmenge). Notiere die Zeit. Stelle dann 37,5 mg ein (25 %). Was fällt dir auf?

Fehlvorstellungs-Box

Konsolidierung

Halten wir fest, was wir erkannt haben:

Die Gleichung $150 \cdot 0{,}8^t = 90$ lässt sich umformen zu:

$0{,}8^t = 0{,}6$

Das ist eine Exponentialgleichung: Die gesuchte Größe $t$ steht im Exponenten. Mit bisherigen Methoden (Umformen, Wurzelziehen) kommst du nicht weiter. Du brauchst ein neues Werkzeug: den Logarithmus.

Retrieval Gate

Definition: Logarithmus

Beispiele:

Selbsterklärung:

Worked Example 1: Koffeinabbau lösen (vollständig)

Selbsterklärung

Basiswechselformel

Worked Example 2: log_5(625) berechnen (vollständig)

Simulation S4 — Koffein-Tracker (Vertiefung)

Nutze die Simulation jetzt gezielt in beiden Modi.

Leitfragen:

1. Modus A: Stelle verschiedene Zeitpunkte ein. Notiere für $t = 1, 2, 3, 5, 10$ die jeweilige Restmenge.
2. Modus B: Stelle verschiedene Zielwerte ein (90 mg, 75 mg, 50 mg, 30 mg). Notiere die jeweilige Zeit.
3. Vergleiche: Was passiert in Modus B, wenn du die Abbaurate änderst (z. B. von 20 % auf 30 %)? Wird der Zielwert schneller oder langsamer erreicht?
4. Kernfrage: Wechsle zwischen Modus A und B. Welche Frage beantwortet der Logarithmus?

Completion 1 (1 Lücke): Lichtintensität im Wasser

Completion 2 (2 Lücken): Kapital verdoppeln

Fehlvorstellungs-Box

Sicherung

Mixed Retrieval Gate (Kap. 1–3)

Geblocktes Üben

Aufgabe 1: Berechne ohne Taschenrechner.

a) $\log_2(64)$ $\quad$ b) $\log_3(27)$ $\quad$ c) $\log_5(125)$

Aufgabe 2: Berechne mit dem Taschenrechner.

a) $\log_2(20)$ $\quad$ b) $\log_3(67)$ $\quad$ c) $\log_5(2222)$

Aufgabe 3: Löse die Exponentialgleichungen.

a) $2^x = 50$ $\quad$ b) $0{,}5^x = 0{,}1$ $\quad$ c) $1{,}04^x = 3$

Interleaved Practice (Kap. 1–3)

Aufgabe 4: Eine Bakterienkultur startet mit 500 Bakterien und verdoppelt sich alle 3 Stunden.

a) Stelle die Funktionsgleichung auf (Kap. 2).

b) Nach wie vielen Stunden sind es 10.000 Bakterien? (Kap. 3)

Aufgabe 5: Familie Müller beobachtet den Wert ihres Autos:

a) Handelt es sich um lineares oder exponentielles Verhalten? Begründe (Kap. 1).

b) Bestimme den Wachstumsfaktor und stelle die Funktionsgleichung auf (Kap. 2).

c) Wann ist das Auto nur noch 5.000 € wert? (Kap. 3)

Abgabe-Aufgaben

Selbstdiagnose

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Was bedeutet $\log_2(16) = 4$?

• A: $2 \cdot 4 = 16$
• B: $2^4 = 16$
• C: Man muss 2 mit 4 potenzieren, um 16 zu erhalten.
• D: $16^2 = 4$

Frage 2 (AFB I)

Welchen Wert hat $\log_3(81)$?

• A: 3
• B: 4
• C: 27
• D: $3^{81}$

Frage 3 (AFB I)

Welche der folgenden Gleichungen ist korrekt?

• A: $\log_5(25) = 2$
• B: $\log_2(8) = 4$
• C: $\log_{10}(1000) = 3$
• D: $\log_7(1) = 0$

Frage 4 (AFB I)

Wie lautet die Basiswechselformel?

• A: $\log_a(b) = \frac{\log(a)}{\log(b)}$
• B: $\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$
• C: $\log_a(b) = \log(a) \cdot \log(b)$
• D: $\log_a(b) = \log(b) - \log(a)$

Frage 5 (AFB I)

Welchen Wert hat $\log_{0{,}5}(8)$?

• A: 4
• B: $-3$
• C: 3
• D: $-4$

Frage 6 (AFB I)

Welche Exponentialgleichung gehört zu $\log_4(64) = 3$?

• A: $4^3 = 64$
• B: $64^3 = 4$
• C: $3^4 = 64$
• D: $4^{64} = 3$

Frage 7 (AFB II)

Die Gleichung $150 \cdot 0{,}8^t = 90$ beschreibt den Koffeinabbau. Welche Umformungen sind korrekt?

• A: $0{,}8^t = 0{,}6$
• B: $t = \log_{0{,}8}(0{,}6)$
• C: $t = \frac{\log(0{,}6)}{\log(0{,}8)}$
• D: $t = \frac{\log(0{,}8)}{\log(0{,}6)}$

Frage 8 (AFB II)

Ein Kapital wird zu 5 % jährlich verzinst. Welche Gleichung löst man, um die Verdoppelungszeit zu berechnen?

• A: $0{,}05^t = 2$
• B: $1{,}05^t = 2$
• C: $1{,}5^t = 2$
• D: $t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)}$

Frage 9 (AFB II)

Welche Aussagen über $\log_{10}(0{,}01)$ sind korrekt?

• A: $\log_{10}(0{,}01) = 2$
• B: $\log_{10}(0{,}01) = -2$
• C: $10^{-2} = 0{,}01$
• D: Der Logarithmus einer Zahl kleiner als 1 ist immer negativ (bei Basis $> 1$).

Frage 10 (AFB II)

Die Lichtintensität nimmt pro Meter um 11 % ab. Wie berechnest du die Tiefe, bei der noch 50 % übrig sind?

• A: $0{,}89^x = 0{,}5$, also $x = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}89)}$
• B: $0{,}11^x = 0{,}5$, also $x = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}11)}$
• C: $x = \frac{50}{11} \approx 4{,}55$ Meter
• D: $x \approx 5{,}95$ Meter

Frage 11 (AFB II)

Welche Aussage über den Logarithmus ist richtig?

• A: $\log_a(1) = 0$ für jede Basis $a > 0$, $a \neq 1$.
• B: $\log_a(a) = 1$ für jede Basis $a > 0$, $a \neq 1$.
• C: $\log_a(0) = -\infty$.
• D: $\log_a(-1) = -1$ für jede Basis $a > 0$.

Frage 12 (AFB III)

Lisa sagt: "Wenn ich den Logarithmus verdopple, verdoppelt sich auch das Argument." Stimmt das?

• A: Ja, denn $2 \cdot \log_2(8) = \log_2(16)$.
• B: Nein, denn $2 \cdot \log_2(8) = 6$, aber $\log_2(16) = 4$.
• C: $2 \cdot \log_a(b) = \log_a(b^2)$, nicht $\log_a(2b)$.
• D: Lisas Aussage stimmt nur für $b = 1$.

Frage 13 (AFB III)

Welche der folgenden Rechenregeln sind korrekt?

• A: $\log(a + b) = \log(a) + \log(b)$
• B: $\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$
• C: $\log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)$
• D: $\log(a^n) = n \cdot \log(a)$

Frage 14 (AFB III)

Ein radioaktives Isotop hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Jemand sagt: "Nach 10 Jahren ist alles zerfallen." Was ist richtig?

• A: Stimmt, denn $2 \cdot 5 = 10$ Jahre reichen aus.
• B: Nach 10 Jahren sind noch 25 % übrig.
• C: Der Wert wird nie exakt 0, weil die Exponentialfunktion eine Asymptote bei $y = 0$ hat.
• D: Nach 10 Jahren: $f(10) = f(0) \cdot 0{,}5^{10/5} = f(0) \cdot 0{,}25$.

Frage 15 (AFB III)

Warum ist der Logarithmus das geeignete Werkzeug, um Exponentialgleichungen zu lösen?

• A: Weil der Logarithmus die Umkehrung der Potenzierung ist.
• B: Weil der Logarithmus den Exponenten aus $a^x = b$ "herausholt": $x = \log_a(b)$.
• C: Weil man Exponentialgleichungen auch einfach durch die Basis teilen kann.
• D: Weil $\log(a^x) = x \cdot \log(a)$ gilt und man so $x$ isolieren kann.

Transferaufgabe

Vernetzung: Concept Map

         Exponentialfunktion                    Logarithmus
    ┌──────────────────────────┐         ┌──────────────────────────┐
    │  Gegeben: t (Zeit)       │         │  Gegeben: Zielwert b     │
    │  Gesucht: f(t) = a·q^t  │  ◄───►  │  Gesucht: t = log_q(b/a)│
    │                          │         │                          │
    │  "Wie viel nach t?"      │         │  "Wann wird b erreicht?" │
    └──────────────────────────┘         └──────────────────────────┘
              │                                    │
              │          UMKEHRUNG                 │
              └──────────────────────────────────────┘

    Beispiel Koffeinabbau:
    Exponentialfunktion:  f(t) = 150 · 0,8^t → f(3) = 76,8 mg
    Logarithmus:          150 · 0,8^t = 90  → t ≈ 2,29 h

Überlege dir:

• Welche weiteren Umkehrungen kennst du aus der Mathematik? (z. B. Addition ↔ Subtraktion, Multiplikation ↔ Division, Potenzieren ↔ ?)
• Warum ist es sinnvoll, dass der Taschenrechner eine log-Taste hat?

Reflexion

Musterlösungen