Kapitel 1 — Exponentielles Wachstum

Productive-Failure-Block: Schätze zuerst!

Liz verdient 8 € pro Stunde als Babysitterin. Ihre Nachbarn bieten ihr zwei Möglichkeiten:

Angebot A: Jeden Monat steigt der Stundenlohn um +0,30 €.

Angebot B: Jeden Monat steigt der Stundenlohn um +3 %.

Welches Angebot bringt nach 2 Jahren (= 24 Monaten) mehr? Schätze: Wie hoch ist der Stundenlohn bei jedem Angebot nach 24 Monaten?

Konsolidierung: Die Simulation zeigt die Wahrheit

Jetzt überprüfst du deine Schätzung mit der interaktiven Simulation. Die Simulation zeigt beide Angebote als Graphen und Wertetabelle.

Arbeitsauftrag zur Simulation:

1. Stelle die Standardwerte ein: Startwert $a = 8$, monatliche Erhöhung $d = 0{,}30\,€$, monatliche Erhöhung $p = 3\,\%$.
2. Drücke den Play-Button und beobachte, wie sich beide Kurven entwickeln.
3. Beantworte die folgenden Leitfragen:

Vergleich: Deine Schätzung vs. Realität

Hier die tatsächlichen Werte (bei $a = 8$, $d = 0{,}30$, $p = 3\,\%$):

Begriffe: Lineares vs. exponentielles Wachstum

Aus dem Vergleich ergeben sich zwei grundlegende Wachstumsarten:

Angebot A — Lineares Wachstum: Der Stundenlohn steigt jeden Monat um den gleichen Betrag (den konstanten Summanden $d = 0{,}30\,€$). Die Zunahme ist absolut konstant.

Angebot B — Exponentielles Wachstum: Der Stundenlohn steigt jeden Monat um den gleichen Prozentsatz (den konstanten Faktor $q = 1{,}03$). Die prozentuale Zunahme ist konstant, aber die absolute Zunahme wird von Monat zu Monat größer.

Fehlvorstellungs-Boxen

Retrieval Gate

Worked Example 1 (vollständig): Lineares Wachstum

Selbsterklärung

Worked Example 2 (vollständig): Exponentielles Wachstum

Selbsterklärung

Completion 1 (1 Lücke): Juris Marathontraining

Completion 2 (2 Lücken): Guthaben mit jährlicher Abnahme

Sicherung: Merksatz

Mixed Retrieval Gate

Geblocktes Üben

Aufgabe 1 (AFB I): Wachstumsfaktor bestimmen

Aufgabe 2 (AFB I): Funktionswerte berechnen

Aufgabe 3 (AFB II): Funktionsgleichung aufstellen und berechnen

Interleaved Practice

Aufgabe 4: Linear oder exponentiell? (gemischt)

Aufgabe 5: Vergleich aufstellen und berechnen (gemischt)

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Welche Aussagen über den Ausdruck "$+5\,\%$ pro Jahr" sind korrekt?

• A: Der Wachstumsfaktor ist $q = 0{,}05$.
• B: Der Wachstumsfaktor ist $q = 5$.
• C: Nach 10 Jahren hat sich der Wert verzehnfacht, weil $10 \times 5\,\% = 50\,\% \times 2 = 100\,\%$.
• D: Der absolute Zuwachs ist jedes Jahr gleich groß.

Frage 2 (AFB I)

Welche Aussagen über lineares Wachstum sind korrekt?

• A: Der Graph ist eine Gerade.
• B: Die absolute Zunahme pro Zeiteinheit ist konstant.
• C: Die prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit ist konstant.
• D: Die Formel lautet $f(t) = a + d \cdot t$.

Frage 3 (AFB I)

Ein Wert von $400$ wächst jährlich um $10\,\%$. Welche Aussagen beschreiben diesen Vorgang korrekt?

• A: Der Wachstumsfaktor beträgt $q = 1{,}10$.
• B: Nach einem Jahr beträgt der Wert $440$.
• C: Die Funktionsgleichung lautet $f(t) = 400 \cdot 1{,}1^t$.
• D: Es handelt sich um exponentielles Wachstum.

Frage 4 (AFB I)

Ein Startwert von $1\,000$ wird jährlich um $8\,\%$ erhöht. Jemand behauptet, nach 3 Jahren sei der Wert $1\,240$. Welche Aussagen stützen diese Behauptung?

• A: $1\,000 + 3 \cdot 80 = 1\,240$, also stimmt die Behauptung.
• B: $8\,\%$ von $1\,000$ sind $80$, und $3 \times 80 = 240$, also $1\,000 + 240 = 1\,240$.
• C: Die Behauptung stimmt, weil Prozente über mehrere Jahre einfach addiert werden dürfen.
• D: $1{,}08^3 = 1{,}24$, also $1\,000 \cdot 1{,}24 = 1\,240$.

Frage 5 (AFB I)

Welche Aussagen über exponentielles Wachstum mit $f(t) = a \cdot q^t$ (wobei $a > 0$, $q > 1$) sind korrekt?

• A: $f(0) = a$ (der Funktionswert bei $t = 0$ ist der Anfangswert).
• B: Der Graph geht durch den Punkt $(0 \mid a)$.
• C: Für $t > 0$ gilt stets $f(t) > a$.
• D: Der Funktionswert ist für alle $t$ positiv.

Frage 6 (AFB I)

Welche der folgenden Situationen beschreibt exponentielles Wachstum?

• A: Ein Sparbuch erhält jedes Jahr $3\,\%$ Zinsen.
• B: Ein Aquarium bekommt jede Woche 2 neue Fische.
• C: Die Bevölkerung wächst jährlich um $1{,}2\,\%$.
• D: Ein Handwerker erhöht seinen Stundenlohn jedes Jahr um $2\,€$.

Frage 7 (AFB II)

Liz' Stundenlohn beträgt zu Beginn $8\,€$. Bei Angebot A ($+0{,}30\,€$/Monat) und Angebot B ($+3\,\%$/Monat): Welche Aussagen stimmen?

• A: Angebot B ist ab dem ersten Monat besser.
• B: Angebot A liefert im ersten Monat einen höheren Zuwachs als Angebot B.
• C: Nach 24 Monaten ist Angebot B besser.
• D: Der Unterschied zwischen den Angeboten wird mit der Zeit immer kleiner.

Frage 8 (AFB II)

Ein Guthaben von $1\,000\,€$ verliert jährlich $5\,\%$. Welche Aussagen stimmen?

• A: Nach 20 Jahren ist das Guthaben bei $0\,€$.
• B: Der Wachstumsfaktor ist $q = 0{,}95$.
• C: Die Funktionsgleichung lautet $f(t) = 1\,000 \cdot 0{,}95^t$.
• D: Das Guthaben erreicht nie exakt $0\,€$.

Frage 9 (AFB II)

Zwei Modelle starten bei $a = 50$: Modell L ($+5$ pro Zeitschritt) und Modell E ($+8\,\%$ pro Zeitschritt). Welche Aussage stimmt?

• A: Modell E ist von Anfang an besser, weil exponentielle Zunahme immer schneller ist.
• B: Die Modelle liefern in den ersten Zeitschritten identische Werte.
• C: Im ersten Zeitschritt ist der absolute Zuwachs bei Modell L ($+5$) größer als bei Modell E ($+4$).
• D: Die absolute Zunahme bei Modell E bleibt bei jedem Zeitschritt gleich ($= 4$).

Frage 10 (AFB II)

Eine Bakterienkultur startet bei $500$ Bakterien und wächst stündlich um $15\,\%$. Wie lautet der Wert nach 10 Stunden?

• A: $f(10) = 500 + 0{,}15 \cdot 10 = 501{,}50$
• B: $f(10) = 500 \cdot 15^{10} \approx 2{,}88 \cdot 10^{13}$
• C: $f(10) = 500 \cdot 1{,}15^{10} \approx 2\,023$
• D: $f(10) = 500 + 15 \cdot 10 = 650$

Frage 11 (AFB II)

Welche der folgenden Graphen-Beschreibungen passt zu exponentiellem Wachstum mit $q > 1$?

• A: Eine Gerade mit positiver Steigung.
• B: Eine Kurve, die immer steiler ansteigt.
• C: Eine Kurve, die sich der $x$-Achse annähert.
• D: Eine Kurve, die durch den Punkt $(0 \mid a)$ geht.

Frage 12 (AFB III)

"Wenn ich meinen Lohn 10 Jahre lang jährlich um $10\,\%$ erhöhe, verdiene ich am Ende doppelt so viel." Stimmt das?

• A: Ja, weil $10 \times 10\,\% = 100\,\% =$ Verdopplung.
• B: Nein, nach 10 Jahren verdiene ich mehr als das Doppelte.
• C: Nein, nach 10 Jahren verdiene ich weniger als das Doppelte.
• D: Das hängt vom Anfangslohn ab.

Frage 13 (AFB III)

Ein Unternehmen zeigt folgende Verkaufszahlen: Jahr 1: $1\,000$, Jahr 2: $1\,100$, Jahr 3: $1\,200$, Jahr 4: $1\,300$. Welche Schlussfolgerungen sind korrekt?

• A: Die Daten zeigen exponentielles Wachstum, weil die Zahlen steigen.
• B: Der Wachstumsfaktor beträgt $q = 1{,}1$, weil von $1\,000$ auf $1\,100$ eine Zunahme um $10\,\%$ vorliegt.
• C: Da die Zahlen um jeweils $100$ steigen, handelt es sich um exponentielles Wachstum mit $d = 100$.
• D: Die Daten beweisen, dass das Unternehmen für immer wachsen wird.

Frage 14 (AFB III)

Bei exponentiellem Zerfall mit $q = 0{,}5$ (Halbierung pro Zeitschritt) und Startwert $1\,000$: Welche Aussagen stimmen?

• A: Nach 2 Zeitschritten ist der Wert bei $0$.
• B: Nach 2 Zeitschritten ist der Wert bei $250$.
• C: Nach 10 Zeitschritten ist der Wert kleiner als $1$.
• D: Der Wert erreicht irgendwann exakt $0$.

Frage 15 (AFB III)

Beurteile folgende Aussage: "Wenn der prozentuale Zuwachs anfangs kleiner ist als der absolute Zuwachs eines linearen Modells, dann ist exponentielles Wachstum immer und dauerhaft langsamer."

• A: Die Aussage stimmt — ein kleinerer Zuwachs bleibt immer kleiner.
• B: Die Aussage stimmt, weil lineare Funktionen immer steiler sind als Exponentialfunktionen.
• C: Die Aussage stimmt nicht — langfristig überholt das exponentielle Wachstum, weil die wachsende Basis den absoluten Zuwachs immer weiter steigert.
• D: Die Aussage stimmt, weil $0{,}30 > 0{,}24$ für alle Zeiten gilt.

Transferaufgabe: Der Saguaro-Kaktus

Vernetzung: Concept Map

Reflexions-Prompt

Musterlösungen