Kapitel 4 — Wachstumsprozesse modellieren

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

Datenpunkte graphisch darstellen und den Wachstumstyp erkennen — du entscheidest anhand des Verlaufs, ob ein lineares oder exponentielles Modell sinnvoll ist.
Die Differenzen- und Quotienten-Methode anwenden — du berechnest systematisch, ob konstante Differenzen oder konstante Quotienten vorliegen.
Eine Modellfunktion aufstellen — du wählst zwei geeignete Datenpunkte und berechnest $a$ und $q$ .
Die Qualität eines Modells beurteilen — du vergleichst Modellwerte mit tatsächlichen Daten und erkennst Abweichungen.
Prognosen erstellen und kritisch hinterfragen — du berechnest zukünftige Werte und benennst Grenzen der Extrapolation.

Leitfrage: Wie kann man aus wenigen Datenpunkten vorhersagen, wie sich ein Bestand entwickelt?

Luca und Kim züchten Stabheuschrecken und zählen den Bestand regelmäßig. Aus ihren Daten wollen sie die zukünftige Entwicklung abschätzen.

Du hast ~135 Minuten für dieses Kapitel.

Lernweg-Vorausschau

Phase 1 — Daten erkunden und erste Ansätze entwickeln (30 min)
Phase 2 — Funktionstypen unterscheiden und Modelle aufbauen (35 min)
Phase 3 — Üben (40 min)
Phase 4 — Transfer und Reflexion (30 min)

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du mit diesem Kapitel startest, prüfe, ob du die folgenden Grundlagen beherrschst. Falls nicht, nutze die Auffrischungen unten.

Selbsttest Voraussetzungen

Löse die folgenden Aufgaben. Klappe danach die Lösung auf.

Tipp

Falls du mehr als 2 Aufgaben nicht lösen konntest, arbeite zuerst Kapitel 2 (Exponentialfunktionen) und Kapitel 3 (Logarithmen) noch einmal durch.

Retrieval GatePflicht

Beantworte die folgenden Fragen aus dem Gedächtnis. Klappe erst danach die Lösung auf.

Daten erkunden und erste Ansätze entwickeln

ca. 30 Min

Productive-Failure-Block: Stabheuschrecken

Luca und Kim züchten Stabheuschrecken und zählen den Bestand regelmäßig:

Anzahl der Tage $t$	0	60	80	100	120
Anzahl der Tiere $y$	6	19	37	58	91

Hinweis

Auftrag: Luca und Kim fragen sich: Mit wie vielen Tieren können sie nach 200 Tagen rechnen?

Versuche eine begründete Schätzung. Nutze einen der folgenden Ansätze — oder einen eigenen:

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und verlängere den Verlauf „nach Gefühl".
Berechne den durchschnittlichen Zuwachs pro Tag und rechne linear weiter.
Probiere eine Exponentialfunktion aus.

Notiere deinen Ansatz, dein Ergebnis und eine kurze Begründung.

Konsolidierung: Die 4-Schritte-Methodik

Um Wachstumsprozesse systematisch zu modellieren, gehst du immer in vier Schritten vor:

Hinweis

Die 4-Schritte-Methodik der Modellierung

Funktionstyp wählen: Datenpunkte graphisch darstellen. Differenzen und Quotienten berechnen. Entscheiden: linear oder exponentiell?
Gleichung aufstellen: Zwei geeignete Datenpunkte wählen und die Parameter der Modellfunktion berechnen.
Qualität prüfen: Graph zeichnen und prüfen, ob die Kurve die Datenpunkte gut annähert. Bei Bedarf andere Punkte wählen.
Verwenden + Kritik: Prognosen berechnen. Kritisch hinterfragen: Ist das Modell für die Fragestellung brauchbar?

Diese Methodik wirst du in den nächsten Phasen Schritt für Schritt einüben.

Funktionstypen unterscheiden und Modelle aufbauen

ca. 35 Min

Differenzen- vs. Quotienten-Methode

Um zu entscheiden, ob ein lineares oder exponentielles Modell passt, gibt es zwei Werkzeuge:

Differenzen-Methode (Test auf lineares Wachstum): Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Werte bei gleichen Zeitabständen. Sind die Differenzen annähernd konstant, liegt lineares Wachstum vor.

Quotienten-Methode (Test auf exponentielles Wachstum): Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Werte bei gleichen Zeitabständen. Sind die Quotienten annähernd konstant, liegt exponentielles Wachstum vor.

Anwendung auf die Stabheuschrecken-Daten:

Die Zeitabstände sind nicht gleich (60, 20, 20, 20 Tage), deshalb müssen wir die Quotienten auf gleiche Zeitabstände normieren. Betrachte die letzten vier Werte (Abstand je 20 Tage):

Zeitraum	Differenz	Quotient
$t = 60$ bis $t = 80$	$37 - 19 = 18$	$\frac{37}{19} \approx 1{,}95$
$t = 80$ bis $t = 100$	$58 - 37 = 21$	$\frac{58}{37} \approx 1{,}57$
$t = 100$ bis $t = 120$	$91 - 58 = 33$	$\frac{91}{58} \approx 1{,}57$

Die Differenzen ( $18$ , $21$ , $33$ ) sind nicht konstant — also kein lineares Wachstum. Die Quotienten ( $1{,}95$ ; $1{,}57$ ; $1{,}57$ ) sind auch nicht perfekt konstant, aber die letzten beiden stimmen gut überein. Ein exponentielles Modell scheint sinnvoller als ein lineares.

Tipp

In der Praxis liefern reale Daten nie exakt konstante Quotienten. Es reicht, wenn die Quotienten annähernd übereinstimmen.

Worked Example 1: Stabheuschrecken modellieren (vollständig)

Selbsterklärung

Hinweis

Denke nach: Warum liefert die Wahl verschiedener Punktepaare unterschiedliche Modelle?

Eine Exponentialfunktion $f(t) = a \cdot q^t$ hat zwei Parameter ( $a$ und $q$ ). Zwei Datenpunkte legen diese Parameter eindeutig fest. Da reale Daten aber nicht exakt auf einer Exponentialkurve liegen, hängt das berechnete Modell davon ab, welche zwei Punkte man wählt. Wählt man einen „Ausreißer", weicht das Modell stärker von den übrigen Daten ab.

Worked Example 2: Stabheuschrecken — anderes Punktepaar (vollständig)

Simulation S5: Kurven-Fitter

Kurven-Fitter: Modellierung

Passe eine Exponentialfunktion an reale Datenpunkte an und pruefe die Modellqualitaet.

f(t) = 6 \cdot 1.020^{\,t}

Anfangswert a6.0

148121620

Wachstumsfaktor q1.020

1,0011,0101,0201,0301,0401,050

Auto-Fit

Abweichung

E = 969.1

f(140)

96 Tiere

Modellierung

Versuche, die Kurve möglichst nah an alle Datenpunkte zu bringen. Die gestrichelten Linien zeigen die Abweichung: grün = klein, gelb = mittel, rot = groß. Je kleiner E, desto besser passt das Modell.

Applet wird geladen...

Hinweis

Auftrag zur Simulation:

Versuche, die Kurve per Slider ( $a$ und $q$ ) möglichst nah an die Datenpunkte zu bringen. Welche Abweichung erreichst du?
Klicke auf „Punkt 1 + 5 verwenden" und dann auf „Punkt 1 + 2 verwenden". Welches Modell passt besser? Warum?
Wie viele Tiere sagt dein Modell für Tag 200 vorher? Ist diese Prognose zuverlässig?

Completion 1 (1 Lücke): Internetshop

Completion 2 (2 Lücken): Bevölkerungswachstum Ägypten

Fehlvorstellungs-Boxen

Achtung

Typischer Fehler: „Die Modellfunktion geht exakt durch alle Datenpunkte."

Gegenbeispiel: Beim Stabheuschrecken-Modell $f(t) = 6 \cdot 1{,}0229^t$ ergibt sich $f(60) \approx 23{,}4$ , aber der tatsächliche Wert ist $19$ . Die Abweichung beträgt $4{,}4$ Tiere.

Richtig: Ein Modell ist eine Näherung. Es wird aus nur zwei Datenpunkten berechnet und kann die übrigen Punkte nur annähern, nicht exakt treffen. Je besser die Punkte gewählt sind, desto kleiner sind die Abweichungen.

Achtung

Typischer Fehler: „Jedes Punktepaar liefert dasselbe Modell."

Gegenbeispiel: Punktepaar $(0 \mid 6)$ und $(120 \mid 91)$ ergibt $q \approx 1{,}0229$ und die Prognose $f(200) \approx 556$ . Punktepaar $(0 \mid 6)$ und $(60 \mid 19)$ ergibt $q \approx 1{,}0194$ und die Prognose $g(200) \approx 288$ . Obwohl beide Modelle auf denselben Daten basieren, liefern sie völlig unterschiedliche Prognosen.

Richtig: Verschiedene Punktepaare liefern verschiedene Modelle. Ein „Ausreißer" kann das Modell stark verfälschen. Deshalb ist Schritt 3 (Qualität prüfen) so wichtig.

Sicherung: 4-Schritte-Methodik

Hinweis

Merksatz: Modellierung von Wachstumsvorgängen

Funktionstyp wählen: Datenpunkte graphisch darstellen. Differenzen berechnen (konstant → linear) und Quotienten berechnen (konstant → exponentiell).
Gleichung aufstellen: Zwei geeignete Datenpunkte wählen. Für $f(t) = a \cdot q^t$ : Aus dem ersten Punkt $a$ ablesen, aus dem zweiten Punkt $q$ berechnen mit $q = \left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{1/(t_2 - t_1)}$ .
Qualität prüfen: Modellwerte für alle Datenpunkte berechnen und mit den tatsächlichen Werten vergleichen. Bei großen Abweichungen: andere Punkte wählen.
Verwenden + Kritik: Prognosen berechnen. Kritisch fragen: Wie weit reicht die Extrapolation? Welche Faktoren könnten das Ergebnis verfälschen?

Üben

ca. 40 Min

Mixed Retrieval Gate (Kap. 1–4)

Geblocktes Üben

Aufgabe 1: Modell aufstellen

Die Anzahl der Bakterien in einer Kultur wird stündlich gemessen:

Stunde $t$	0	1	2	3	4
Anzahl (in Tsd.)	50	60	72	86	104

Prüfe mit der Quotienten-Methode, ob exponentielles Wachstum vorliegt. Stelle die Modellfunktion auf (verwende den 1. und letzten Punkt).

Aufgabe 2: Prognose erstellen

Berechne mit dem Modell aus Aufgabe 1, wie viele Bakterien nach 10 Stunden zu erwarten sind.

Aufgabe 3: Modell beurteilen

Ein Schüler hat für die Bakterien-Daten aus Aufgabe 1 ein lineares Modell aufgestellt: $g(t) = 50 + 13{,}5 \cdot t$ . Berechne $g(4)$ und vergleiche mit dem tatsächlichen Wert. Beurteile, welches Modell besser passt.

Interleaved Practice

Aufgabe 4: Linear oder exponentiell? (Kap. 1 + Kap. 4)

Entscheide für jede Situation, ob ein lineares oder exponentielles Modell angemessen ist. Begründe mit der Differenzen- oder Quotienten-Methode.

a) Ein Sparplan: Jeden Monat werden 150 € eingezahlt. Nach 0, 1, 2, 3, 4 Monaten sind $0$ ; $150$ ; $300$ ; $450$ ; $600$ € auf dem Konto.

b) Daten einer Pflanze:

Woche $t$	0	1	2	3	4
Höhe (cm)	10	13	17	22	29

Aufgabe 5: Gleichung aufstellen und Prognose (Kap. 3 + Kap. 4)

Die Pflanze aus Aufgabe 4b) wächst weiter. Berechne: a) Wie hoch ist die Pflanze laut Modell nach 10 Wochen? b) Wann erreicht sie eine Höhe von 100 cm?

Abgabe-Aufgaben

Quotienten-Methode anwenden (AFB I)

Die Tabelle zeigt die Entwicklung eines Bestands über 4 Jahre:

Jahr $t$	0	1	2	3	4
Anzahl	1322	1422	1529	1645	1767

Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Werte und entscheide, ob exponentielles Wachstum vorliegt.

Textabgabe

Modellfunktion aufstellen (AFB II)

Verwende die Daten aus der vorherigen Aufgabe. Stelle die Modellfunktion $f(t) = a \cdot q^t$ auf (verwende den 1. und letzten Datenpunkt) und prognostiziere den Bestand nach 10 Jahren.

Textabgabe

Modellkritik formulieren (AFB III)

Obwohl die Modellfunktion gut zu den Daten der Stabheuschrecken passt, ist die Prognose für 200 Tage unsicher. Nenne mindestens 3 Gründe, warum Modellprognosen mit Vorsicht zu genießen sind.

Textabgabe

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Tipp

Exkursionen: Wenn du die gelernten Konzepte auf spannende Anwendungen übertragen möchtest, bearbeite die optionalen Exkursionen:

Transfer und Reflexion

ca. 30 Min

Kapiteltest (MC-Test)

Hinweis

Testregeln: Pro Frage können 0, 1, 2, 3 oder 4 Antworten richtig sein. Kreuze alle richtigen Antworten an.

Frage 1 (AFB I)

Was versteht man unter einer Modellfunktion?

A: Eine Funktion, die exakt durch alle Datenpunkte geht.
B: Eine Funktion, mit der man einen Zusammenhang zwischen zwei Größen möglichst realistisch beschreibt.
C: Eine Funktion, die nur mit Taschenrechner berechnet werden kann.
D: Eine Näherung, die auf Basis ausgewählter Datenpunkte erstellt wird.

Frage 2 (AFB I)

Welche Methode nutzt man, um exponentielles Wachstum in Daten zu erkennen?

A: Man prüft, ob die Differenzen aufeinanderfolgender Werte konstant sind.
B: Man prüft, ob die Quotienten aufeinanderfolgender Werte konstant sind.
C: Man prüft, ob die Summen aufeinanderfolgender Werte konstant sind.
D: Man prüft, ob die Produkte aufeinanderfolgender Werte konstant sind.

Frage 3 (AFB I)

Gegeben: $f(t) = 12 \cdot 1{,}05^t$ . Was ist der Anfangswert?

A: $1{,}05$
B: $12$
C: $f(0) = 12$
D: $0$

Frage 4 (AFB I)

Konstante Differenzen aufeinanderfolgender Werte deuten auf welchen Wachstumstyp hin?

A: Exponentielles Wachstum
B: Lineares Wachstum
C: Kein Wachstum
D: Quadratisches Wachstum

Frage 5 (AFB I)

Wie berechnet man $q$ aus zwei Punkten $(0 \mid 6)$ und $(120 \mid 91)$ für $f(t) = a \cdot q^t$ ?

A: $q = \frac{91}{6}$
B: $q = \frac{91 - 6}{120}$
C: $q = \left(\frac{91}{6}\right)^{1/120}$
D: $q = \frac{91}{6 \cdot 120}$

Frage 6 (AFB I)

Was ist der erste Schritt der 4-Schritte-Methodik?

A: Gleichung einer Modellfunktion aufstellen.
B: Prognose berechnen.
C: Geeigneten Funktionstyp wählen.
D: Modellkritik formulieren.

Frage 7 (AFB II)

Zwei Schüler modellieren denselben Datensatz exponentiell, wählen aber verschiedene Punktepaare. Welche Aussagen sind korrekt?

A: Beide erhalten exakt dieselbe Funktionsgleichung.
B: Beide Modelle können unterschiedlich gut zu den Daten passen.
C: Das Modell mit der kleineren Gesamtabweichung ist besser.
D: Wenn ein gewählter Punkt ein Ausreißer ist, wird das Modell verfälscht.

Frage 8 (AFB II)

Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte betragen $1{,}24$ ; $1{,}26$ ; $1{,}24$ ; $1{,}25$ . Was kannst du schließen?

A: Es liegt lineares Wachstum vor.
B: Es liegt exponentielles Wachstum vor.
C: Der Wachstumsfaktor beträgt ungefähr $q \approx 1{,}25$ .
D: Die Daten passen zu keinem Modell, weil die Quotienten nicht exakt gleich sind.

Frage 9 (AFB II)

Ein Modell $f(t) = 500 \cdot 1{,}25^t$ passt gut zu Daten für $t = 0$ bis $t = 4$ . Wie zuverlässig ist die Prognose $f(20)$ ?

A: Sehr zuverlässig, weil das Modell gut zu den Daten passt.
B: Weniger zuverlässig, weil $t = 20$ weit außerhalb des Datenbereichs liegt.
C: Die Prognose ist exakt, weil die Formel stimmt.
D: Die Zuverlässigkeit hängt davon ab, ob das exponentielle Wachstum tatsächlich so lange anhält.

Frage 10 (AFB II)

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt exponentiellen Zerfall?

A: $f(t) = 100 \cdot 0{,}5^t$
B: $f(t) = 100 - 5t$
C: $f(t) = 100 \cdot 1{,}05^t$
D: $f(t) = 100 \cdot 0{,}95^t$

Frage 11 (AFB II)

Aus den Punkten $(0 \mid 20)$ und $(5 \mid 45)$ soll ein exponentielles Modell aufgestellt werden. Welche Aussagen stimmen?

A: $a = 20$
B: $q = \frac{45}{20} = 2{,}25$
C: $q = \left(\frac{45}{20}\right)^{1/5}$
D: $f(t) = 20 \cdot 2{,}25^t$

Frage 12 (AFB III)

Ein Unternehmen nutzt ein exponentielles Modell für sein Umsatzwachstum. Warum sollte es die Prognose für 50 Jahre kritisch hinterfragen?

A: Exponentielles Wachstum kann nicht unbegrenzt andauern.
B: Äußere Faktoren (Wirtschaftskrisen, Konkurrenz) sind unvorhersehbar.
C: Mathematische Modelle sind grundsätzlich unbrauchbar.
D: Die Modellparameter basieren auf vergangenen Daten, die sich ändern können.

Frage 13 (AFB III)

Jemand behauptet: „Wenn die Quotienten nicht exakt gleich sind, kann kein exponentielles Modell passen." Welche Antworten sind korrekt?

A: Die Aussage stimmt — nur bei exakt gleichen Quotienten liegt exponentielles Wachstum vor.
B: Die Aussage ist falsch — reale Daten liefern nie exakt gleiche Quotienten.
C: Annähernd konstante Quotienten reichen als Hinweis auf exponentielles Wachstum.
D: Man sollte die Quotienten auf mindestens 4 Dezimalstellen genau vergleichen.

Frage 14 (AFB III)

Zwei Modelle für denselben Datensatz liefern Prognosen von 300 und 550 für $t = 20$ . Was lässt sich daraus schließen?

A: Eines der beiden Modelle ist falsch.
B: Die Prognose für $t = 20$ ist grundsätzlich unsicher.
C: Man sollte prüfen, welches Modell besser zu allen Datenpunkten passt.
D: Die Wahl der Punktepaare beeinflusst die Prognose stark.

Frage 15 (AFB III)

Welche der folgenden Aussagen über Modellkritik sind richtig?

A: Eine gute Modellfunktion macht weitere Datenerhebung überflüssig.
B: Extrapolation (Vorhersage über den Datenbereich hinaus) ist immer unzuverlässiger als Interpolation.
C: Ein Modell sollte regelmäßig an neuen Daten überprüft werden.
D: Je mehr Datenpunkte zur Verfügung stehen, desto zuverlässiger kann das Modell beurteilt werden.

Transferaufgabe: Immobilienpreis

Eine Neubauwohnung kostet heute $250\,000$ €. Vergleiche die folgenden vier Szenarien für die Wertentwicklung:

Szenario	Beschreibung
(a)	Jährliche Wertsteigerung um $2\,\%$
(b)	Jährlicher Wertverlust um $2\,\%$
(c)	Jährliche Wertsteigerung um $4000$ €
(d)	Jährlicher Wertverlust um $0{,}5\,\%$

Teilaufgabe 1: Welche Szenarien beschreiben lineares, welche exponentielles Wachstum bzw. Abnahme?

Teilaufgabe 2: Stelle für jedes Szenario die Funktionsgleichung auf und berechne den Wert der Wohnung nach 15 Jahren.

Teilaufgabe 3: Beurteile die Realitätsnähe der vier Szenarien. Welches Modell hältst du für am plausibelsten? Begründe.

Vernetzung: Rückblick auf die gesamte Einheit

Hinweis

Concept Map: Exponentielles Wachstum und Exponentialfunktionen

Erstelle eine Concept Map, die die folgenden Begriffe aus Kapitel 1–4 miteinander verbindet:

Lineares Wachstum — Exponentielles Wachstum — Wachstumsfaktor q — Anfangswert a — Exponentialfunktion — Logarithmus — Verdoppelungszeit — Halbwertszeit — Modellfunktion — Differenzen — Quotienten — Prognose — Modellkritik

Ziehe Verbindungslinien und beschrifte sie mit dem Zusammenhang (z. B. „wird berechnet mit", „ist Umkehrung von", „führt zu").

Reflexion

Hinweis

Beantworte die folgenden Fragen für dich:

Was war die wichtigste Erkenntnis in diesem Kapitel für mich?
Bei welchem der 4 Modellierungsschritte fühle ich mich am unsichersten?
Wie hat sich mein Verständnis von „Prognose" verändert?
Welche Verbindung zu einem anderen Fach (z. B. Biologie, Physik, Geographie) erkenne ich?

Kapitel 4 — Wachstumsprozesse modellieren

Lernziele

Lernweg-Vorausschau

Voraussetzungen

Voraussetzungen

Selbsttest Voraussetzungen

Productive-Failure-Block: Stabheuschrecken

Konsolidierung: Die 4-Schritte-Methodik

Differenzen- vs. Quotienten-Methode

Worked Example 1: Stabheuschrecken modellieren (vollständig)

Selbsterklärung

Worked Example 2: Stabheuschrecken — anderes Punktepaar (vollständig)

Simulation S5: Kurven-Fitter

Kurven-Fitter: Modellierung

Completion 1 (1 Lücke): Internetshop

Completion 2 (2 Lücken): Bevölkerungswachstum Ägypten

Fehlvorstellungs-Boxen

Sicherung: 4-Schritte-Methodik

Mixed Retrieval Gate (Kap. 1–4)

Geblocktes Üben

Interleaved Practice

Abgabe-Aufgaben

Quotienten-Methode anwenden (AFB I)

Modellfunktion aufstellen (AFB II)

Modellkritik formulieren (AFB III)

Kapiteltest (MC-Test)

Frage 1 (AFB I)

Frage 2 (AFB I)

Frage 3 (AFB I)

Frage 4 (AFB I)

Frage 5 (AFB I)

Frage 6 (AFB I)

Frage 7 (AFB II)

Frage 8 (AFB II)

Frage 9 (AFB II)

Frage 10 (AFB II)

Frage 11 (AFB II)

Frage 12 (AFB III)

Frage 13 (AFB III)

Frage 14 (AFB III)

Frage 15 (AFB III)

Transferaufgabe: Immobilienpreis

Vernetzung: Rückblick auf die gesamte Einheit

Reflexion

Musterlösungen