Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

die drei Darstellungsformen quadratischer Funktionen (Normalform, Scheitelpunktform, faktorisierte Form) benennen und unterscheiden.
aus jeder Darstellungsform die direkt ablesbaren Informationen angeben (Scheitelpunkt, $y$ -Achsenabschnitt, Nullstellen).
durch Ausmultiplizieren und quadratische Ergänzung zwischen den Formen umrechnen.
begründen, warum verschiedene Formen für verschiedene Fragestellungen nützlich sind.

Leitfrage: Sechs Sportler werfen, schießen und schlagen — ihre Flugkurven sehen alle unterschiedlich aus, aber die Mathematik dahinter ist dieselbe. Warum gibt es drei verschiedene Formen, eine quadratische Funktion aufzuschreiben — und wann ist welche Form am nützlichsten?

Schritt 1 von 5

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du startest, prüfe mit dem Selbsttest unten, ob du die Grundlagen beherrschst. Falls du unsicher bist: Nutze die Auffrischungen oder den KI-Wiederholungsprompt.

Selbsttest

Tipp

Falls du mehr als eine Aufgabe nicht lösen konntest, nutze die Auffrischungen unten.

Kurzwiederholungen

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

Flugkurven und Darstellungsformen entdecken: Du ordnest Sportsituationen den passenden Gleichungen und Graphen zu und entdeckst, warum verschiedene Gleichungsformen verschiedene Fragen beantworten.
Die drei Formen verstehen und umrechnen: Du lernst an einem Beispiel, wie man zwischen den Formen umrechnet (baut auf Phase 1 auf, weil du jetzt verstehen willst, WARUM es drei Formen gibt).
Sicher zwischen den Formen wechseln: Du übst das Umrechnen systematisch und erkennst, welche Form für welche Aufgabe am besten passt.
Darstellungsformen gezielt einsetzen: Du löst Transferaufgaben und begründest deine Wahl der passenden Form.

Phase 1: Flugkurven und Darstellungsformen entdecken (Stunde 1–2)

Exploration

Retrieval GatePflicht

Nenne drei Eigenschaften einer Parabel, die du aus Klasse 9 kennst.

Retrieval GatePflicht

Was ist der Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ ? Begründe kurz.

Forschungsauftrag: Flugkurven und quadratische Gleichungen

Sechs Sportsituationen beschreiben Flugkurven. Dazu gibt es unsortiert sechs Graphen, sechs Funktionsgleichungen, sechs Lösungsansätze und sechs Antwortsätze.

Situationen:

Tipp

Lies jede Situation genau. Achte auf: Starthöhe, horizontale Entfernung, gesuchte Größe.

Nr.	Situation	Fragestellung
S1	Diskuswurf: Abwurf in $1{,}44$ m Höhe. Nach $10$ m horizontal: $13{,}64$ m Höhe.	Wie weit fliegt der Diskus?
S2	Hammerwurf: Abwurf in $1{,}54$ m Höhe. Nach $30$ m horizontal: $15{,}04$ m Höhe.	Wie weit fliegt der Hammer?
S3	Kugelstoßen: Abwurf in $1{,}40$ m Höhe. Nach $10$ m: wieder $1{,}40$ m.	Wie weit fliegt die Kugel?
S4	Feuerwerksrakete: Start in $2$ m Höhe. Nach $10$ m horizontal: $92$ m Höhe.	In welcher Entfernung ist sie $20$ m hoch?
S5	Fußball: Freistoß. Nach $10$ m horizontal: $2{,}5$ m Höhe.	Wie weit fliegt der Ball?
S6	Golf: Abschlag. Nach $10$ m horizontal: $8{,}96$ m Höhe.	In welcher Entfernung erreicht der Ball $20$ m Höhe?

Funktionsgleichungen:

	Gleichung		Gleichung
F1	$f_1(x) = -0{,}025x^2 + 0{,}25x + 1{,}40$	F4	$f_4(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}42x + 1{,}44$
F2	$f_2(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}35x$	F5	$f_5(x) = -0{,}008x^2 + 0{,}976x$
F3	$f_3(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}75x + 1{,}54$	F6	$f_6(x) = -x^2 + 19x + 2$

Lösungsansätze:

	Gleichung		Gleichung
L1	$-0{,}02x^2 + 1{,}42x + 1{,}44 = 0$	L4	$-0{,}025x^2 + 0{,}25x + 1{,}40 = 0$
L2	$-0{,}008x^2 + 0{,}976x = 20$	L5	$-0{,}01x^2 + 0{,}35x = 0$
L3	$-x^2 + 19x + 2 = 20$	L6	$-0{,}01x^2 + 0{,}75x + 1{,}54 = 0$

Antwortsätze:

	Antwort
A1	Der Landepunkt ist ca. $77$ m horizontal vom Startpunkt entfernt.
A2	Ca. $1$ m und ca. $18$ m in horizontaler Entfernung beträgt die Höhe ca. $20$ m.
A3	Der Landepunkt ist ca. $14$ m horizontal vom Startpunkt entfernt.
A4	Der Landepunkt ist ca. $35$ m horizontal vom Startpunkt entfernt.
A5	Der Landepunkt ist ca. $72$ m horizontal vom Startpunkt entfernt.
A6	Ca. $26$ m und ca. $96$ m horizontaler Entfernung beträgt die Höhe ca. $20$ m.

Deine Aufgabe:

Ordne jeder Situation (S1–S6) je eine Funktionsgleichung (F1–F6), einen Lösungsansatz (L1–L6) und einen Antwortsatz (A1–A6) zu. Begründe jede Zuordnung.

Entdeckung: Was verrät die faktorisierte Form?

Nullstellen und faktorisierte Form

Entdecke, dass die Nullstellen direkt in der faktorisierten Form stehen.

Faktorisierte Form

\textcolor{#dc2626}{f(x) = (x + 1,0) \cdot (x - 3,0)}

Normalform

f(x) = x^2 - 2,0x - 3,0

Satz von Vieta

x_1 + x_2 = 2,0

(= -1,0 + 3,0)

x_1 \cdot x_2 = -3,0

(= -1,0 · 3,0)

Nullstelle r (x₁)-1,0

-505

Nullstelle s (x₂)3,0

-505

Streckfaktor a1,0

-202

Applet wird geladen...

Arbeitsauftrag:

Du siehst eine Parabel mit zwei Schnittpunkten auf der $x$ -Achse (Nullstellen). Darunter steht die faktorisierte Form der Funktionsgleichung.
Vermutung: Verschiebe die linke Nullstelle auf $x = 2$ . Was passiert in der Formel? Notiere deine Vermutung, BEVOR du schiebst.
Überprüfung: Verschiebe und beobachte. Stimmt es?
Setze die Nullstellen auf $r = -1$ und $s = 3$ . Wie lautet die faktorisierte Form? Multipliziere sie im Heft aus — welche Normalform erhältst du?
Grenzfall: Schiebe den Streckfaktor-Schieber so, dass die Parabel ÜBER der $x$ -Achse liegt. Was passiert mit der faktorisierten Form? Was bedeutet das?
Fazit: Erkläre in einem Satz, warum die Nullstellen in der faktorisierten Form „drinstehen".

Die drei Darstellungsformen

Du hast im Forschungsauftrag und im GeoGebra-Applet gesehen: Dieselbe quadratische Funktion kann auf verschiedene Weisen aufgeschrieben werden. Es gibt drei Standardformen:

Hinweis

Drei Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Form	Schreibweise	Direkt ablesbar
Normalform	$f(x) = ax^2 + bx + c$	$y$ -Achsenabschnitt $c$
Scheitelpunktform	$f(x) = a(x - d)^2 + e$	Scheitelpunkt $S(d \mid e)$
Faktorisierte Form	$f(x) = a(x - r)(x - s)$	Nullstellen $r$ und $s$

Der Streckfaktor $a$ ist in allen drei Formen ablesbar. Er bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite der Parabel.

Die drei Terme $(x-1)^2 - 4$ , $x^2 - 2x - 3$ und $(x-3)(x+1)$ sind äquivalent — sie beschreiben dieselbe Funktion $f$ . Durch Ausmultiplizieren kann man das zeigen:

(x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3

(x-3)(x+1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3

Phase 2: Die drei Formen verstehen und umrechnen (Stunde 2–3)

Konzeptaufbau

Retrieval GatePflicht

Welche Information liefert die faktorisierte Form $f(x) = a(x - r)(x - s)$ direkt — ohne zu rechnen?

Retrieval GatePflicht

Nenne die drei Darstellungsformen quadratischer Funktionen und die Information, die jede direkt liefert.

Worked Example: Alle drei Formen bestimmen

Self-Explanation: In Schritt 2 ergibt sich der $y$ -Achsenabschnitt $c = 6$ . Warum ist $c$ immer der $y$ -Achsenabschnitt — was passiert, wenn du $x = 0$ in die Normalform einsetzt?

Interaktive Erforschung: Drei Formen im Vergleich

Darstellungsformen-Explorer

Erkunde die drei Darstellungsformen einer quadratischen Funktion und beobachte, wie sie sich simultan veraendern.

Scheitelpunktform

\textcolor{#7c3aed}{f(x) = (x - 2,0)^2 - 1,0}

Normalform

f(x) = x^2 - 4,0x + 3,0

Faktorisierte Form

\textcolor{#dc2626}{f(x) = (x - 1,00) \cdot (x - 3,00)}

Streckfaktor a1,0

-303

Scheitel d (x)2,0

-505

Scheitel e (y)-1,0

-505

Applet wird geladen...

Arbeitsauftrag:

Du siehst eine Parabel und drei Darstellungen ihrer Gleichung (Normalform, Scheitelpunktform, faktorisierte Form).
Vermutung: Wenn du den Scheitelpunkt nach rechts verschiebst — welche Zahl in welcher Form ändert sich? Notiere deine Vermutung.
Überprüfung: Verschiebe den Scheitelpunkt mit dem Schieberegler. Beobachte alle drei Formen. Stimmt deine Vermutung?
Vorzeichenfalle: Verschiebe den Scheitelpunkt auf $x = 3$ . Wie lautet die Scheitelpunktform? Steht dort $(x - 3)^2$ oder $(x + 3)^2$ ?
Verschiebe nun eine Nullstelle. Welche Form ändert sich am übersichtlichsten?
Fazit: Schreibe in einem Satz auf: Welche Form ist wofür am nützlichsten?

Typischer Fehler: Vorzeichen in der Scheitelpunktform

Achtung

Typischer Fehler: „Die Scheitelpunktform $f(x) = (x - 3)^2 + 2$ hat den Scheitelpunkt $S(-3 \mid 2)$ ."

Das ist falsch! In $a(x - d)^2 + e$ steht ein Minus vor $d$ . Also:

$f(x) = (x - 3)^2 + 2$ → Scheitelpunkt $S(\mathbf{3} \mid 2)$ , nicht $S(-3 \mid 2)$ .

Gegenbeispiel: $f(3) = (3-3)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$ (Minimum ✓), aber $f(-3) = (-3-3)^2 + 2 = 36 + 2 = 38$ (kein Minimum ✗).

Kim behauptet: „Der Scheitelpunkt von $f(x) = (x - 5)^2 + 3$ liegt bei $S(-5 \mid 3)$ ." Berechne $f(5)$ und $f(-5)$ . Wer hat recht?

Completion Problem (2 Lücken)

Forme $g(x) = -3(x - 1)(x - 5)$ in alle drei Formen um.

Schritt 1 — Informationen aus der faktorisierten Form:

Streckfaktor: $a = -3$ (nach unten geöffnet). Nullstellen: $x_1 = 1$ , $x_2 = 5$ .

Schritt 2 — Normalform:

$g(x) = -3(x-1)(x-5) = -3(x^2 - 6x + 5) =$ Vervollständige: Multipliziere die $-3$ in die Klammer hinein.

Schritt 3 — Scheitelpunktform:

Vervollständige: Führe die quadratische Ergänzung durch und bestimme den Scheitelpunkt.

Eigenständige Aufgabe

Forme $h(x) = (x + 2)^2 - 9$ in die faktorisierte Form und die Normalform um. Gib Scheitelpunkt, Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitt an.

Sicherung

Hinweis

Zusammenfassung: Drei Darstellungsformen

Form	Formel	Direkt ablesbar	Umrechnung
Normalform	$f(x) = ax^2 + bx + c$	$y$ -Achsenabschnitt: $c$	Ausmultiplizieren
Scheitelpunktform	$f(x) = a(x-d)^2 + e$	Scheitelpunkt: $S(d \mid e)$	Quadratische Ergänzung
Faktorisierte Form	$f(x) = a(x-r)(x-s)$	Nullstellen: $r$ und $s$	Faktorisieren (Vieta, pq-Formel)

Merkhilfe: Jede Form ist ein „Fenster" auf dieselbe Parabel — aber jedes Fenster zeigt etwas anderes.

Phase 3: Sicher zwischen den Formen wechseln (Stunde 3–4)

Üben

Retrieval GatePflicht

Gib die Nullstellen von $f(x) = 4(x - 2)(x + 7)$ an.

Retrieval GatePflicht

In welcher Form ist der Scheitelpunkt direkt ablesbar?

Retrieval GatePflicht

Löse die Gleichung $-3x + 7 = -2$ .

Retrieval GatePflicht

Vereinfache $\sqrt{48}$ .

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Forme in die Normalform um: $f(x) = (x - 4)(x + 1)$ .

Aufgabe 2: Forme in die Normalform um: $f(x) = 2(x - 3)^2 - 8$ .

Aufgabe 3: Bestimme die Nullstellen direkt (falls möglich): $f(x) = x^2 - 9$ .

Aufgabe 4: Der Graph einer quadratischen Funktion hat den Scheitelpunkt $S(1 \mid -4)$ , die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ , und den $y$ -Achsenabschnitt $-3$ . Gib alle drei Darstellungsformen an.

Aufgabe 5 (Sachkontext): Eine Rakete startet in $2$ m Höhe. Sie hat Nullstellen bei $x = -0{,}1$ und $x = 20$ . Gib die faktorisierte Form an (mit $a = -1$ ).

Aufgabe 6 (Fehlersuche): Prüfe, ob $f(x) = (x + 3)^2 - 4$ und $f(x) = x^2 + 6x + 5$ dieselbe Funktion beschreiben.

Interleaving: Binomische Formeln und Ausmultiplizieren

Aufgabe 7: Schreibe $x^2 - 10x + 25$ als Quadrat eines Binoms.

Aufgabe 8: Multipliziere aus: $(2x - 3)(x + 4)$ .

Aufgabe 9 (gemischt): Gegeben $f(x) = x^2 + 2x - 3$ . Bestimme $y$ -Achsenabschnitt, Nullstellen und Scheitelpunkt.

Interaktive Zuordnung

Formzuordnung mit Sofort-Feedback

Ordne Parabeln ihren Darstellungsformen zu und erhalte sofortiges Feedback.

Ordne jeder Parabel die passende Normalform, Scheitelpunktform und faktorisierte Form zu.

Applet wird geladen...

Ordne jeder Parabel die richtige Normalform, Scheitelpunktform und faktorisierte Form zu. Bei falscher Zuordnung erhältst du einen Hinweis.

Abgabe-Aufgaben

Aufgabe A1 (AFB I): Gib für $f(x) = -2(x - 1)(x + 5)$ die Normalform an.

Aufgabe A2 (AFB II): Die Parabel $f$ hat den Scheitelpunkt $S(2 \mid -3)$ und geht durch den Punkt $P(0 \mid 5)$ . Bestimme die Scheitelpunktform und die Normalform.

Aufgabe A3 (AFB II): Welche der drei Darstellungsformen würdest du nutzen, um zu entscheiden, ob eine Parabel die $x$ -Achse schneidet? Begründe.

Aufgabe A4 (AFB III): Zeige durch Rechnung, dass $f(x) = (x-1)^2 - 4$ , $f(x) = x^2 - 2x - 3$ und $f(x) = (x-3)(x+1)$ dieselbe Funktion beschreiben. Welche Information liefert jede Form?

Selbsteinschätzung

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Phase 4: Darstellungsformen gezielt einsetzen (Stunde 4–5)

Transfer

MC-Test: Darstellungsformen

Transferaufgabe: Flugkurve eines Balls

Ein Ball wird geworfen. Seine Höhe wird beschrieben durch:

$h(x) = -0{,}04x^2 + 1{,}6x + 1$

Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung zum Abwurfpunkt (in m) und $h(x)$ die Höhe über dem Boden (in m).

(a) Welche Darstellungsform ist für welche Frage am nützlichsten?

Starthöhe?
Maximale Höhe?
Landepunkt?

(b) Beantworte EINE der drei Fragen, indem du die passende Form nutzt.

Begründungsaufgabe

Erkläre in eigenen Worten

Die Gleichungen f(x) = (x-1)² - 9, f(x) = x² - 2x - 8 und f(x) = (x-4)(x+2) beschreiben DIESELBE Funktion. Welche Information kannst du aus jeder Form direkt ablesen, ohne zu rechnen? Warum gibt es verschiedene Formen, wenn sie doch dasselbe beschreiben?

Vernetzung

Tipp

Ausblick auf Kapitel 2: Du hast gesehen, dass die faktorisierte Form die Nullstellen direkt zeigt. Aber wie findest du die Nullstellen, wenn dir nur die Normalform gegeben ist? Im nächsten Kapitel lernst du, wie man quadratische Gleichungen grafisch lösen kann — als ersten Schritt auf dem Weg zu einem allgemeinen Lösungsverfahren.

Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Lernziele

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Selbsttest

Kurzwiederholungen

Lernweg

Phase 1: Flugkurven und Darstellungsformen entdecken (Stunde 1–2)

Exploration

Forschungsauftrag: Flugkurven und quadratische Gleichungen

Entdeckung: Was verrät die faktorisierte Form?

Nullstellen und faktorisierte Form

Die drei Darstellungsformen

Phase 2: Die drei Formen verstehen und umrechnen (Stunde 2–3)

Konzeptaufbau

Worked Example: Alle drei Formen bestimmen

Interaktive Erforschung: Drei Formen im Vergleich

Darstellungsformen-Explorer

Typischer Fehler: Vorzeichen in der Scheitelpunktform

Completion Problem (2 Lücken)

Eigenständige Aufgabe

Sicherung

Phase 3: Sicher zwischen den Formen wechseln (Stunde 3–4)

Üben

Übungsaufgaben

Interleaving: Binomische Formeln und Ausmultiplizieren

Interaktive Zuordnung

Formzuordnung mit Sofort-Feedback

Abgabe-Aufgaben

Selbsteinschätzung

Phase 4: Darstellungsformen gezielt einsetzen (Stunde 4–5)

Transfer

MC-Test: Darstellungsformen

Transferaufgabe: Flugkurve eines Balls

Begründungsaufgabe

Vernetzung

Reflexion