Problemlösen mit quadratischen Gleichungen

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

Sachprobleme mithilfe des 4-Schritte-Schemas (Verstehen → Zerlegen → Rechnen → Rückschau) in quadratische Gleichungen übersetzen und lösen.
bei Extremwertproblemen den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion als Maximum oder Minimum nutzen und im Sachkontext interpretieren.
beurteilen, welche Lösungen einer quadratischen Gleichung im Sachkontext sinnvoll sind — und welche nicht.
bei gemischten Gleichungen das effizienteste der fünf Verfahren wählen und anwenden.

Leitfrage: Wie setzt man quadratische Gleichungen ein, um reale Probleme zu lösen — und wie entscheidet man, welches Verfahren am effizientesten ist?

Schritt 1 von 5

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du startest, prüfe mit dem Selbsttest unten, ob du die pq-Formel aus Kapitel 5 sicher beherrschst.

Selbsttest

Tipp

Falls du unsicher warst: Lies den Merksatz zur pq-Formel am Ende von Kapitel 5 nochmal nach.

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

Rückblick und Einstieg: Du wiederholst alle fünf Lösungsverfahren und erkundest das Zaunproblem: Wie groß kann die Fläche maximal werden? (Retrieval-Aktivierung über die gesamte Einheit + Motivation für Extremwertprobleme).
Sachaufgaben lösen: Du lernst das 4-Schritte-Schema und wendest es auf das Zaunproblem und ein Altersrätsel an (baut auf Phase 1 auf, weil du die Verfahren jetzt auf REALE Probleme überträgst).
Verfahrenswahl und Abschlussübung: Du trainierst die Verfahrenswahl an gemischten Gleichungen und löst Sachaufgaben aus verschiedenen Kontexten (baut auf Phase 2 auf, weil du jetzt ALLE Verfahren sicher beherrschen musst).
Abschlusstest und Reflexion: Du löst den Abschlusstest, reflektierst über die gesamte Einheit und entdeckst optional den Carlyle-Kreis (schließt die Einheit ab).

Phase 1: Rückblick + Einstieg Extremwertproblem (Stunde 1)

Einstieg

Retrieval GatePflicht

In dieser Einheit hast du fünf Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen kennengelernt. Ordne jedem Verfahren sein Erkennungsmerkmal zu:

Verfahren	Erkennungsmerkmal
Wurzelziehen	???
Ausklammern	???
Vieta	???
pq-Formel	???

Verfahrensübersicht — Alle fünf Methoden

Nr.	Verfahren	Erkennungsmerkmal	Beispiel	Kapitel
1	Wurzelziehen	$x^2 - e = 0$ (kein $x$ -Term)	$x^2 = 25 \;\Rightarrow\; x = \pm 5$	3
2	Ausklammern	$x^2 - dx = 0$ (kein absolutes Glied)	$x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x-5) = 0$	3
3	Vieta	$x^2 + px + q = 0$ (ganzzahlige Lösungen)	$x^2 + 3x - 10 = 0 \;\Rightarrow\; (x+5)(x-2) = 0$	4
4	pq-Formel	$x^2 + px + q = 0$ (universell)	$x^2 - 6x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; x_{1/2} = 3 \pm 2$	5
5	Normierung + pq-Formel	$ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 1$ )	$2x^2 + 6x + 4 = 0 \;\xrightarrow{:2}\; x^2 + 3x + 2 = 0$	5

Die pq-Formel funktioniert immer — aber die anderen Verfahren sind oft schneller!

Das Zaunproblem

Du hast 12 m Zaun und eine Hauswand. An die Hauswand soll ein rechteckiges Beet gebaut werden. Drei Seiten werden mit dem Zaun begrenzt, die vierte Seite ist die Hauswand.

Aufgabe: Wie groß kann die Fläche des Beetes maximal werden?

Bevor du rechnest: Erkunde das Problem im folgenden GeoGebra-Applet.

Zaunproblem — Flaeche maximieren

Finde die optimalen Masse eines Rechtecks an einer Hauswand mit begrenztem Zaun.

Flaechenfunktion A(x) = x · (12 - 2x)

Seite x

2,0 m

Seite y = 12 - 2x

8,0 m

Flaeche A = x · y

16,0 m²

Maximum gefunden!

Bei x = 3 m ist die Flaeche am groessten: A = 18 m². Die optimale Aufteilung ist x = 3 m und y = 6 m.

Seitenlaenge x2,0 m

0,5 m1,5 m3,0 m4,5 m5,5 m

Zaunproblem

Ein Zaun der Laenge 12 m wird an einer Hauswand zu einem Rechteck geformt. Welche Seitenlaenge x ergibt die groesste Flaeche? Verschiebe den Regler und beobachte den Scheitelpunkt der Parabel!

Applet wird geladen...

Arbeite die folgenden Schritte am Applet durch:

Die Seitenlänge senkrecht zur Wand ist $x$ m. Wie lang ist die Seite parallel zur Wand? (Tipp: 12 m Zaun minus zwei Seiten der Länge $x$ .)
Verschiebe den Schieberegler für $x$ . Bei welchem Wert von $x$ ist die Fläche am größten? Notiere deinen Schätzwert.
Beobachte den Graphen von $A(x)$ . Welche Form hat er? Welcher besondere Punkt markiert das Maximum?
Vermutung: Wie hängt der Scheitelpunkt des Graphen mit der optimalen Fläche zusammen?

Erkläre in eigenen Worten

Im Applet hast du gesehen, dass die Fläche bei x = 3 am größten ist. Erkläre: Was hat der Scheitelpunkt des Graphen mit dem Maximum der Fläche zu tun?

Phase 2: Sachaufgaben lösen — 4-Schritte-Schema (Stunde 2)

Konzeptaufbau

Retrieval GatePflicht

Welche Seitenlängen hat das Rechteck mit der größten Fläche beim Zaunproblem? Welche Form hat der Graph von $A(x)$ ?

Retrieval GatePflicht

Wenn die pq-Formel zwei Lösungen liefert — sind dann IMMER beide Lösungen die Antwort auf die Aufgabe?

Das 4-Schritte-Schema für Sachaufgaben

4-Schritte-Schema: Probleme lösen mit quadratischen Gleichungen

Schritt	Was tust du?
1. Verstehen	Lies die Aufgabe. Skizze anfertigen. Variable einführen. Was ist gegeben? Was ist gesucht?
2. Zerlegen	Stelle einen Term oder eine Gleichung auf. Nutze die Beziehungen aus dem Sachkontext.
3. Rechnen	Löse die Gleichung mit dem passenden Verfahren.
4. Rückschau	Prüfe: Ist die Lösung im Kontext sinnvoll? Antwortsatz formulieren.

Worked Example: Zaunproblem (vollständig nach 4-Schritte-Schema)

Erkläre in eigenen Worten

Im Schritt 'Rückschau' wurde geprüft, ob x = 3 sinnvoll ist. Warum ist dieser Schritt bei Sachaufgaben besonders wichtig — und warum war er bei den rein algebraischen Aufgaben in Kapitel 3–5 weniger nötig?

Diagnose: Beide Lösungen gültig?

Achtung

Typischer Fehler (F11): Leon löst eine Aufgabe zum senkrechten Wurf: Ein Stein wird vom Rand einer Klippe geworfen. Die Höhe über dem Boden ist $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ (in Metern, nach $t$ Sekunden).

Leon setzt $h(t) = 0$ und löst: $-5t^2 + 20t + 25 = 0 \;\;\big|:(-5) \;\;\Rightarrow\;\; t^2 - 4t - 5 = 0$ .

pq-Formel: $t_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3$ . Also $t_1 = 5$ und $t_2 = -1$ .

Leon schreibt: „Der Stein trifft nach $5$ Sekunden oder nach $-1$ Sekunden auf dem Boden auf."

Beurteile Leons Antwort: $t = -1$ Sekunden ist im Kontext nicht sinnvoll — negative Zeiten gibt es nicht. Nur $t = 5$ ist eine gültige Antwort.

Merke: Bei Sachaufgaben muss JEDE Lösung auf Plausibilität im Kontext geprüft werden!

Completion-Aufgabe: Altersrätsel (Fading)

Aufgabe: Eine Mutter ist heute 44 Jahre alt, ihr Sohn ist 20. In wie vielen Jahren ergibt das Produkt ihrer Alter 1881?

Schritt 1 (Verstehen): Variable: $n$ = Anzahl der Jahre ab heute. In $n$ Jahren ist die Mutter $44 + n$ Jahre alt, der Sohn $20 + n$ Jahre alt.

Schritt 2 (Zerlegen):

$(44 + n)(20 + n) = 1881$

Multipliziere die linke Seite aus und ordne um:

Schritt 3 (Rechnen):

Löse $n^2 + 64n - 1001 = 0$ mit der pq-Formel. Welche Lösungen erhältst du?

Schritt 4 (Rückschau):

$n_1 = 13$ — ist das im Kontext sinnvoll? $n_2 = -77$ — ist das im Kontext sinnvoll? Warum nicht?

Phase 3: Verfahrenswahl + Gemischte Übung (Stunde 3)

Üben

Retrieval GatePflicht

Nenne die vier Schritte des Problemlöseschemas.

Wende sie auf folgendes Miniproblem an: „Die Summe einer Zahl und ihres Quadrats ist 42. Welche Zahl ist gemeint?"

Retrieval GatePflicht

Welches Verfahren nutzt du für die folgenden Gleichungen? (Nur das Verfahren nennen, NICHT lösen.)

(a) $x^2 - 7x = 0$ — (b) $x^2 - 49 = 0$ — (c) $x^2 - 7x + 12 = 0$

Verfahrenswahl-Quiz

Übe die Zuordnung: Welches Verfahren passt am besten? Ziehe jede Gleichung in die richtige Kategorie. Du bekommst sofort Feedback.

Verfahrenswahl-Quiz

Uebe die strategische Wahl des schnellsten Loesungsverfahrens fuer quadratische Gleichungen.

Welches Verfahren passt am besten?

Ordne jeder Gleichung das effizienteste Loesungsverfahren zu.

3x^2 - 27 = 0

x^2 - 12x = 0

x^2 - 4x + 4 = 0

x^2 - 25 = 0

x^2 + 3x - 10 = 0

2x^2 - 5x + 1 = 0

x^2 - 3x - 1 = 0

x^2 + 7x = 0

Tipp zur Verfahrenswahl

Pruefe zuerst: Fehlt das absolute Glied? → Ausklammern. Fehlt das lineare Glied? → Wurzelziehen. Sind ganzzahlige Loesungen erkennbar (Vieta)? Wenn nichts davon passt: pq-Formel.

Applet wird geladen...

§8 Aufgabe 6, Paket 2: Gemischte Gleichungen

Löse jede Gleichung. Wähle das passende Verfahren und notiere, welches du benutzt hast.

Aufgabe (a): $x^2 - 12x = 0$

Aufgabe (b): $14x + x^2 = 4$

Aufgabe (c): $-8 + 3x^2 = -12$

Aufgabe (d): $12{,}5x - 10 = 2{,}5x^2$

Aufgabe (e): $66 = (4 + x)^2$

Aufgabe (f): $16x^2 = 80$

§8 Aufgabe 6, Paket 3: Schwierigere Gleichungen

Aufgabe (a): $13x = 4x^2 + 10x$

Aufgabe (b): $x + 5x^2 = 66 + x$

Aufgabe (c): $x^2 - 12 - 3x = x^2$

Aufgabe (d): $3{,}5 \cdot (x - 44)^2 = 7$

Aufgabe (e): $x^2 - 3x^2 + 6x = 1{,}5$

Sachaufgabe: Zahlenrätsel (§10 R1, Aufg. 5 adaptiert)

Aufgabe: Eine positive ganze Zahl wird mit ihrem Vorgänger multipliziert. Addiert man 13 zum Ergebnis, erhält man 565. Welche Zahl ist gesucht?

Begründungsaufgabe (§10 R2, Aufg. 2 adaptiert)

Aufgabe: Nenne drei verschiedene quadratische Gleichungen, die alle die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{-1;\; 2\}$ haben. Begründe, warum es unendlich viele solcher Gleichungen gibt.

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 2

Aufgabe: Die Gleichung $x^2 + 2x + 5 = 0$ hat die Diskriminante $D = 1 - 5 = -4 < 0$ . Erkläre die Bedeutung von $D < 0$ auf ZWEI Arten:

(a) algebraisch (mit der pq-Formel) und (b) grafisch (mit dem Graphen).

Selbsteinschätzung

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Phase 4: Abschlusstest + Reflexion (Stunde 4–5)

Transfer

MC-Test: Abschluss — Quadratische Gleichungen

Abschluss-Aufgaben

Aufgabe A1 (Steinwurf, AFB II): Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Wasser beträgt $h(t) = -0{,}3t^2 + 1{,}8t + 5$ (Höhe in Metern, $t$ in Sekunden).

(a) Wie hoch steht der Werfer über dem Wasser?

(b) Wann erreicht der Stein seine maximale Höhe? Wie hoch ist sie?

Aufgabe A2 (Kaninchen-Gehege, AFB II–III): Für ein rechteckiges Kaninchen-Gehege stehen 20 m Maschendrahtzaun und ein 2 m langes Holztor zur Verfügung. Das Tor ersetzt einen Teil einer Zaunseite. Jedes Kaninchen braucht mindestens 5 m² Fläche.

(a) Stelle eine Formel für die Fläche des Geheges in Abhängigkeit von einer Seitenlänge auf.

(b) Wie viele Kaninchen passen bei optimaler Flächennutzung hinein?

Aufgabe A3 (Begründung, AFB III): Erkläre, warum die Gleichung $x^2 + 2x + 5 = 0$ keine Lösung hat. Nutze ZWEI verschiedene Begründungen:

(a) eine algebraische (mit der Diskriminante) und

(b) eine grafische (mit dem Graphen).

Selbsteinschätzung — Gesamte Einheit

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Exkursion: Der Carlyle-Kreis (optional)

Tipp

Der folgende Abschnitt ist optional. Er zeigt eine elegante geometrische Methode zur Nullstellenbestimmung, die Algebra und Geometrie verbindet. Du brauchst ihn nicht für den Abschlusstest — aber er zeigt, wie tief die Verbindungen in der Mathematik reichen.

Gesamtreflexion

Du hast in dieser Einheit fünf Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen gelernt — vom Wurzelziehen über das Ausklammern und Vieta bis zur pq-Formel. Du hast gesehen, wann jede Methode ihre Stärke hat, und du hast gelernt, quadratische Gleichungen auf Sachprobleme anzuwenden.

Beantworte zum Abschluss die Leitfrage der gesamten Einheit: