Die Lösungsformel

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

die pq-Formel korrekt anwenden: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ — einschließlich korrektem Vorzeichenmanagement.
die Diskriminante berechnen und die Lösungsanzahl (2, 1 oder 0) bestimmen.
eine nicht-normierte Gleichung durch Division normieren, bevor du die pq-Formel anwendest.
bei gemischten Aufgaben das effizienteste Verfahren wählen: Wurzelziehen, Ausklammern, Vieta oder pq-Formel.

Leitfrage: Wie löst man JEDE quadratische Gleichung — auch mit nicht-ganzzahligen Lösungen?

Schritt 1 von 5

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du startest, prüfe mit dem Selbsttest unten, ob du Vieta aus Kapitel 4 beherrschst. Die Auffrischung zu den binomischen Formeln ist wichtig für die quadratische Ergänzung.

Selbsttest

Auffrischung

Tipp

Falls du bei der Auffrischung Schwierigkeiten hattest: Lies den Merksatz zu den binomischen Formeln am Ende von Kapitel 1 nochmal nach.

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

Warum brauchen wir ein neues Verfahren? Du versuchst, neun Gleichungen mit deinen bisherigen Methoden zu lösen — und entdeckst, dass einige davon scheitern. Dann lernst du die quadratische Ergänzung über ein geometrisches Flächenmodell (motiviert die Frage des Kapitels und baut das Fundament für die Formel).
Die pq-Formel und die Diskriminante: Du leitest die pq-Formel aus der quadratischen Ergänzung her, lernst die Diskriminante kennen und übst das Normieren (baut auf Phase 1 auf, weil die Formel AUS der quadratischen Ergänzung folgt).
Üben und Verfahrenswahl: Du übst die pq-Formel an gemischten Aufgaben und lernst, wann du welches der vier Verfahren einsetzt (baut auf Phase 2 auf, weil du jetzt VIER algebraische Verfahren kennst).
Transfer und Begründung: Du löst eine Parameteraufgabe, begründest den Zusammenhang zwischen Diskriminante und Graph und erhältst eine Gesamtübersicht aller Verfahren.

Phase 1: Neues Verfahren nötig + Quadratische Ergänzung (Stunde 1)

Einstieg

Retrieval GatePflicht

Löse $x^2 - 49 = 0$ durch Wurzelziehen. Wie viele Lösungen gibt es?

Versuche, $x^2 + 2x - 1 = 0$ mit Vieta zu lösen. Gelingt es? Warum nicht?

$p = 2$ , $q = -1$ . Ganzzahlige Teilerpaare von $-1$ : $(1, -1)$ , Summe $= 0 \neq 2$ . $(-1, 1)$ , Summe $= 0 \neq 2$ . Kein Paar passt. Vieta scheitert, weil die Lösungen nicht ganzzahlig sind.

Neun Gleichungen — löse so viele wie möglich!

Versuche, jede Gleichung mit deinen bisherigen Verfahren zu lösen (Wurzelziehen, Ausklammern, Vieta). Notiere bei jeder: Welches Verfahren hast du verwendet? Falls keins funktioniert — warum nicht?

(1) $3(x - 5)^2 + 1 = 49$
(2) $x^2 = 19$
(3) $-x^2 + 3x + 7 = 0$
(4) $x^2 - 9 = 0$
(5) $6x \cdot (x - 3) = 0$
(6) $x^2 - 5 = 0$
(7) $x^2 = 7x$
(8) $2x^2 + 13x - 7 = 0$
(9) $4x^2 + 6x + 1 = 0$

Hinweis

Du brauchst ein universelles Verfahren, das JEDE quadratische Gleichung löst — auch solche mit nicht-ganzzahligen oder irrationalen Lösungen. Die Idee dahinter heißt quadratische Ergänzung.

Quadratische Ergänzung — Die Idee am Flächenmodell

Betrachte den Ausdruck $x^2 + 6x$ . Er beschreibt die Fläche zweier Teilstücke:

Ein Quadrat mit Seitenlänge $x$ (Fläche: $x^2$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten $x$ und $6$ (Fläche: $6x$ ).

Zusammen: $x^2 + 6x$ .

Im folgenden GeoGebra-Applet kannst du diese Flächen manipulieren und entdecken, wie man daraus ein vollständiges Quadrat macht.

Arbeite die folgenden Schritte am Applet durch:

Du siehst das Quadrat $x^2$ und das Rechteck $6x$ . Klicke auf „Aufteilen": Das Rechteck wird in zwei Hälften geteilt ( $3x$ und $3x$ ).
Klicke auf „Anlegen": Die zwei Hälften werden an zwei Seiten des Quadrats angelegt. Welche Form entsteht?
Vermutung: Welche Fläche FEHLT noch, um ein vollständiges großes Quadrat zu erhalten? Wie groß ist die fehlende Ecke?
Klicke auf „Ergänzen": Die fehlende Ecke ( $3^2 = 9$ ) wird eingefügt. Jetzt ist das große Quadrat vollständig: $(x + 3)^2$ .
Wichtig: Die GESAMTFLÄCHE war vorher $x^2 + 6x$ , jetzt ist sie $x^2 + 6x + 9$ . Du hast $9$ HINZUGEFÜGT — also musst du $9$ wieder ABZIEHEN, damit die Gleichung stimmt:

$x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$

Verändere $p$ auf $8$ und wiederhole. Wie groß ist die fehlende Ecke jetzt? ( $4^2 = 16$ )
Fazit: $x^2 + px = (x + \frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2$ .

Quadratische Ergänzung — Die Formel

Die geometrische Beobachtung lässt sich algebraisch so zusammenfassen:

$x^2 + px = x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$

Du addierst $(\frac{p}{2})^2$ (die fehlende Ecke) und subtrahierst sie sofort wieder (damit die Gleichung stimmt). Das Ergebnis ist ein vollständiges Quadrat minus einer Zahl.

Achtung

Typischer Fehler (F10): Lea schreibt: „ $x^2 + 8x = (x + 4)^2$ ."

Prüfe durch Ausmultiplizieren: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \neq x^2 + 8x$ .

Lea hat $16$ addiert, aber nicht subtrahiert. Richtig ist: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$ .

Denke ans Flächenmodell: Die fehlende Ecke ( $4^2 = 16$ ) vergrößert die Fläche — deshalb musst du sie wieder abziehen!

Erkläre in eigenen Worten

Im Flächenmodell hast du gesehen, dass die fehlende Ecke (p/2)² die Gesamtfläche vergrößert. Erkläre in eigenen Worten: Warum muss man bei der quadratischen Ergänzung (p/2)² sowohl addieren ALS AUCH subtrahieren?

Phase 2: Die pq-Formel (Stunde 2)

Konzeptaufbau

Retrieval GatePflicht

Ergänze quadratisch: $x^2 + 10x = (x + \text{\_\_\_})^2 - \text{\_\_\_}$ .

WARUM muss man bei der quadratischen Ergänzung $(\frac{p}{2})^2$ sowohl addieren ALS AUCH subtrahieren?

Man addiert $(\frac{p}{2})^2$ , um ein vollständiges Quadrat zu erhalten. Durch die Addition vergrößert sich der Ausdruck — deshalb muss man denselben Wert wieder subtrahieren, damit die Gleichung weiterhin stimmt.

Herleitung der pq-Formel

Die pq-Formel wird jetzt Schritt für Schritt aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet. Lies jeden Schritt aufmerksam — die Herleitung zeigt, WARUM die Formel funktioniert.

Ausgangspunkt: $x^2 + px + q = 0$

Schritt 1: Bringe $q$ auf die andere Seite:

$x^2 + px = -q$

Schritt 2: Wende die quadratische Ergänzung an — addiere $(\frac{p}{2})^2$ auf BEIDEN Seiten:

$x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Schritt 3: Die linke Seite ist jetzt ein vollständiges Quadrat:

$\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Schritt 4: Wurzelziehen (falls die rechte Seite $\geq 0$ ):

$x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Schritt 5: $x$ isolieren:

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Das ist die pq-Formel.

Erkläre in eigenen Worten

In Schritt 4 steht die Bedingung 'falls die rechte Seite ≥ 0'. Wann ist (p/2)² - q negativ? Was passiert dann — hat die Gleichung trotzdem Lösungen?

pq-Formel

Für $x^2 + px + q = 0$ gilt:

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Achtung: $p$ ist der Koeffizient von $x$ MIT Vorzeichen. Das Minus in $-\frac{p}{2}$ dreht das Vorzeichen um.

Worked Example: pq-Formel anwenden

Diagnose: Vorzeichenfehler bei p

Achtung

Typischer Fehler (F04): Tim löst $x^2 + 6x + 5 = 0$ und schreibt: „ $p = 6$ , also $\frac{p}{2} = 3$ , also $x_{1/2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2$ ."

Tim berechnet $x_1 = 5$ und $x_2 = 1$ . Probe: $5^2 + 6 \cdot 5 + 5 = 25 + 30 + 5 = 60 \neq 0$ ✗

Tim hat das Minus vor $\frac{p}{2}$ vergessen! Richtig: $-\frac{p}{2} = -\frac{6}{2} = -3$ .

$x_{1/2} = -3 \pm \sqrt{9 - 5} = -3 \pm 2$

$x_1 = -1$ , $x_2 = -5$ . Probe: $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ ✓

Merkregel: p ist der Koeffizient MIT Vorzeichen

In $x^2 + 6x + 5 = 0$ ist $p = 6$ , also $-\frac{p}{2} = -3$ .

In $x^2 - 6x + 5 = 0$ ist $p = -6$ , also $-\frac{p}{2} = 3$ .

Das Minus in der Formel $-\frac{p}{2}$ dreht das Vorzeichen von $p$ um.

Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:

$D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Drei Fälle:

$D > 0$ : Zwei verschiedene Lösungen.
$D = 0$ : Genau eine Lösung (Doppellösung): $x = -\frac{p}{2}$ .
$D < 0$ : Keine reelle Lösung.

Diskriminante visuell verstehen

Im folgenden GeoGebra-Applet siehst du den Zusammenhang zwischen der Parabel und der Diskriminante. Die Diskriminante sagt dir, ob und wo die Parabel die $x$ -Achse schneidet.

Diskriminanten-Explorer

Beobachte den Zusammenhang zwischen Parabel, Diskriminante und Loesungsanzahl.

$f(x) = x^2 -6x + 5$

D = 4,00

D > 0 \rightarrow \text{Zwei Loesungen}

D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = \left(-3,0\right)^2 - 5,0 = 9,00 - 5,0 = 4,00

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} = 3,0 \pm 2,00 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 5,00,\; x_2 = 1,00

p-6,0

q5,0

Applet wird geladen...

Arbeite die folgenden Schritte am Applet durch:

Stelle $p = -6$ und $q = 5$ ein. Lies die Nullstellen ab. Wie viele Lösungen hat $x^2 - 6x + 5 = 0$ ? Was zeigt die Diskriminanten-Anzeige?
Verändere $q$ mit dem Schieberegler. Bei welchem Wert von $q$ hat die Gleichung genau EINE Lösung? Welchen Wert hat $D$ dann?
Schiebe $q$ weiter. Was passiert mit dem Graphen, wenn $D < 0$ wird?
Verbindung zu Kapitel 2: Dort hast du die Lösungsanzahl am Graphen abgelesen. Jetzt hast du eine FORMEL dafür. Erkläre den Zusammenhang in einem Satz.
Stelle $p = -4$ , $q = 4$ ein. Berechne die Diskriminante von Hand: $D = (-4/2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ . Stimmt das Ergebnis mit dem Applet überein?

Diagnose: Negative Diskriminante

Achtung

Typischer Fehler (F08): Lisa berechnet die Diskriminante von $x^2 + 2x + 5 = 0$ : $D = 1 - 5 = -4$ . Sie sagt: „Ich habe mich verrechnet — $D$ kann doch nicht negativ sein!"

Prüfe: Der Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 + 2x + 5$ liegt bei $S(-1 \mid 4)$ . Die Parabel ist nach oben geöffnet und ihr tiefster Punkt liegt BEI $y = 4$ — also komplett ÜBER der $x$ -Achse.

$D < 0$ ist kein Rechenfehler. Es gibt tatsächlich keine Lösung, weil die Parabel die $x$ -Achse nicht schneidet.

Normierung

Normierung auf a = 1

Die pq-Formel gilt nur für Gleichungen in Normalform $x^2 + px + q = 0$ (Koeffizient vor $x^2$ ist $1$ ).

Wenn $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 1$ : Dividiere die gesamte Gleichung durch $a$ .

Dann: $p = \frac{b}{a}$ , $q = \frac{c}{a}$ .

Diagnose: Normierung vergessen

Achtung

Typischer Fehler (F06): Lena löst $2x^2 + 6x + 4 = 0$ direkt mit $p = 6$ und $q = 4$ :

$x_{1/2} = -3 \pm \sqrt{9 - 4} = -3 \pm \sqrt{5}$

Probe für $x_1 = -3 + \sqrt{5} \approx -0{,}76$ : $2 \cdot 0{,}58 + 6 \cdot (-0{,}76) + 4 = 1{,}16 - 4{,}56 + 4 = 0{,}6 \neq 0$ ✗

Lena hat die Normierung vergessen! Richtig:

$2x^2 + 6x + 4 = 0 \;\;\big|:2 \;\;\Rightarrow\;\; x^2 + 3x + 2 = 0$

$p = 3$ , $q = 2$ . $x_{1/2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$

$x_1 = -1$ , $x_2 = -2$ . Probe: $2 \cdot 1 + 6 \cdot (-1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$ ✓

Fading: Completion-Aufgabe

::::

Eigenständige Aufgabe

Löse $x^2 + 4x - 12 = 0$ mit der pq-Formel.

Phase 3: Üben und Verfahrenswahl (Stunde 3)

Üben

Retrieval GatePflicht

Wie lautet die pq-Formel? Nenne die drei Fälle der Diskriminante.

Löse $x^2 - 16 = 0$ . Welches Verfahren verwendest du — und warum nicht die pq-Formel?

Wurzelziehen: $x^2 = 16 \;\Rightarrow\; x = \pm 4$ . $\mathbb{L} = \{-4;\; 4\}$ .

Wurzelziehen ist schneller als die pq-Formel, weil kein $x$ -Term vorhanden ist.

Wann musst du vor der pq-Formel normieren?

Wenn der Koeffizient vor $x^2$ nicht $1$ ist (z.B. $2x^2 + 6x + 4 = 0$ ). Man dividiert die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten.

§8 Aufgabe 3: pq-Formel gemischt

Löse die folgenden Gleichungen mit der pq-Formel. Normiere, wenn nötig. Prüfe die Diskriminante.

Aufgabe (a): $x^2 + 6x + 9 = 0$

Aufgabe (b): $x^2 + 5x - 6 = 0$

Aufgabe (c): $5x^2 - 30x + 25 = 0$

Aufgabe (d): $-6x + x^2 - 40 = 0$

Aufgabe (e): $-8x + 2x^2 = -50$

Aufgabe (f): $27 - 18x - 3x^2 = 0$

Diagnose: Wurzel aus einer Summe

Achtung

Typischer Fehler (F05): Berechne $\sqrt{9 + 16}$ .

Ist das dasselbe wie $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ ?

Nein! $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 7$ .

Merke: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Die Wurzel darf NICHT auf Summanden verteilt werden!

Das gilt auch für die Diskriminante: $\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ kann man NICHT in Einzelteile zerlegen.

Verfahrenswahl — Welche Methode wann?

Erweiterter Entscheidungsbaum — ALLE Verfahren

Erkennungsmerkmal	Verfahren	Kapitel
Kein $x$ -Term (nur $x^2$ und Zahlen)	Wurzelziehen	3
Kein absolutes Glied (kein $c$ )	Ausklammern	3
Ganzzahlige Lösungen vermutet	Vieta probieren	4
Sonst (universell)	pq-Formel	5

Die pq-Formel funktioniert IMMER — aber die anderen Verfahren sind oft schneller!

§8 Aufgabe 6, Paket 1: Verfahrenswahl mit Zeitmessung

Löse jede Gleichung und miss die Zeit. Wähle bei jeder das Verfahren, das du für am schnellsten hältst.

Aufgabe (a): $3x^2 + 4x - 6 = 0$

Aufgabe (b): $(x - 5)^2 - 5 = 0$

Aufgabe (c): $8 = 2x^2$

Aufgabe (d): $x^2 - 12x + 10 = 0$

Aufgabe (e): $3x \cdot (x + 5) = 0$

Aufgabe (f): $25{,}5x - x^2 = 3{,}2$

Tipp

Vergleiche deine Zeiten: Bei welcher Aufgabe warst du am schnellsten? Bei (b), (c) und (e) geht es mit Wurzelziehen bzw. Nullprodukt deutlich schneller als mit der pq-Formel. Das zeigt: Die pq-Formel ist universell, aber nicht immer die effizienteste Methode!

pq-Formel-Trainer

Übe das Einsetzen in die pq-Formel mit Sofortfeedback. Achte besonders auf das Vorzeichen von $p$ und auf die Normierung!

Klausurvorbereitungs-Aufgaben (aus §10 R1 Aufg. 2e–h)

Aufgabe (e): $x^2 + 5x - 9{,}75 = 0$

Aufgabe (f): $0{,}5x^2 - 3x + 4{,}5 = 0$

Aufgabe (g): $2x^2 - 2x - 5 = 0$

Aufgabe (h): $(x - 5)^2 = 1$

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 2–4

Aufgabe 1: Löse $x^2 + 9x = 0$ . Welches Verfahren?

Aufgabe 2: Löse $x^2 - 7x + 12 = 0$ mit Vieta. Geht es auch mit der pq-Formel?

Aufgabe 3: Die Gleichung $x^2 + 2x + 5 = 0$ hat $D = 1 - 5 = -4 < 0$ . Was sagt der Graph?

Abgabe-Aufgaben

Aufgabe A1 (AFB I): Löse $x^2 - 10x + 21 = 0$ mit der pq-Formel.

Aufgabe A2 (AFB II): Löse $3x^2 - 6x - 9 = 0$ . Beschreibe dein Vorgehen in Stichworten.

Aufgabe A3 (AFB III): Bestimme, für welche Werte von $k$ die Gleichung $x^2 + 8x + k = 0$ genau zwei, genau eine oder keine Lösung hat.

Selbsteinschätzung

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Phase 4: Transfer und Vernetzung (Stunde 4–5)

Transfer

MC-Test: Die Lösungsformel

Begründungsaufgabe: Negative Diskriminante

Die Gleichung $x^2 - 2x + 5 = 0$ hat die Diskriminante $D = 1 - 5 = -4$ .

(a) Begründe rechnerisch, warum die Gleichung keine Lösung hat.

(b) Begründe grafisch: Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 2x + 5$ und erkläre, warum die Parabel die $x$ -Achse nicht schneidet.

(c) Erkläre in einem Satz, wie die Lage der Parabel mit dem Vorzeichen der Diskriminante zusammenhängt.

Transferaufgabe: Parameter

Die Gleichung $x^2 + 8x + k = 0$ hängt vom Parameter $k$ ab.

(a) Berechne die Diskriminante in Abhängigkeit von $k$ .

(b) Für welche Werte von $k$ hat die Gleichung zwei Lösungen? Eine Lösung? Keine Lösung?

(c) Bestimme $k$ so, dass $x_1 = -2$ eine Lösung ist. Was ist dann $x_2$ ?

Gesamtübersicht aller Verfahren

Übersicht: Alle algebraischen Lösungsverfahren

Verfahren	Gleichungstyp	Vorteil	Kap.
Wurzelziehen	$x^2 = e$ (kein $x$ -Term)	Schnell, direkt	3
Ausklammern	$ax^2 + bx = 0$ (kein absolutes Glied)	$x = 0$ bleibt erhalten	3
Vieta	$x^2 + px + q = 0$ (ganzzahlige Lösungen)	Kein Taschenrechner nötig	4
pq-Formel	$x^2 + px + q = 0$ (universell)	Funktioniert IMMER	5

Du kennst jetzt vier algebraische Verfahren. Im nächsten Kapitel lernst du, wie man quadratische Gleichungen im Sachkontext einsetzt (Problemlösen).

Die Lösungsformel

Lernziele

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Selbsttest

Auffrischung

Lernweg

Phase 1: Neues Verfahren nötig + Quadratische Ergänzung (Stunde 1)

Einstieg

Neun Gleichungen — löse so viele wie möglich!

Quadratische Ergänzung — Die Idee am Flächenmodell

Flaechenmodell — Quadratische Ergaenzung

Quadratische Ergänzung — Die Formel

Phase 2: Die pq-Formel (Stunde 2)

Konzeptaufbau

Herleitung der pq-Formel

Worked Example: pq-Formel anwenden

Diagnose: Vorzeichenfehler bei p

Diskriminante

Diskriminante visuell verstehen

Diskriminanten-Explorer

Diagnose: Negative Diskriminante

Normierung

Diagnose: Normierung vergessen

Fading: Completion-Aufgabe

Eigenständige Aufgabe

Phase 3: Üben und Verfahrenswahl (Stunde 3)

Üben

§8 Aufgabe 3: pq-Formel gemischt

Diagnose: Wurzel aus einer Summe

Verfahrenswahl — Welche Methode wann?

§8 Aufgabe 6, Paket 1: Verfahrenswahl mit Zeitmessung

pq-Formel-Trainer

pq-Formel-Trainer

Klausurvorbereitungs-Aufgaben (aus §10 R1 Aufg. 2e–h)

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 2–4

Abgabe-Aufgaben

Selbsteinschätzung

Phase 4: Transfer und Vernetzung (Stunde 4–5)

Transfer

MC-Test: Die Lösungsformel

Begründungsaufgabe: Negative Diskriminante

Transferaufgabe: Parameter

Gesamtübersicht aller Verfahren

Reflexion