Einfache Lösungsverfahren

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

quadratische Gleichungen der Form $x^2 = e$ durch Wurzelziehen lösen — einschließlich der $\pm$ -Notation.
quadratische Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$ durch Ausklammern und Anwenden der Nullprodukt-Eigenschaft lösen.
erkennen, welches Verfahren (Wurzelziehen oder Ausklammern) zu einer Gleichung passt.
begründen, warum man bei einer Gleichung nicht durch eine Variable teilen darf.

Leitfrage: Wie löst man quadratische Gleichungen rechnerisch — zumindest die einfachen Typen?

Schritt 1 von 5

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Hinweis

Bevor du startest, prüfe mit dem Selbsttest unten, ob du das grafische Lösen aus Kapitel 2 beherrschst.

Selbsttest

Tipp

Falls du unsicher warst: Lies die Zusammenfassung zum grafischen Lösen am Ende von Kapitel 2 nochmal nach.

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

Warum reicht grafisches Lösen nicht? Du stößt auf Grenzen des grafischen Verfahrens — und entdeckst zwei typische Fallstricke (konfrontiert dich mit Fehlern, die du vielleicht selbst machst).
Wurzelziehen und Ausklammern: Du lernst zwei algebraische Verfahren für einfache Gleichungstypen und die Nullprodukt-Eigenschaft als konzeptuelle Grundlage (baut auf Phase 1 auf, weil du jetzt ein EXAKTES Verfahren brauchst).
Verfahren wählen und üben: Du übst gemischte Aufgaben und entscheidest bei jeder Gleichung: Wurzelziehen oder Ausklammern? (baut auf Phase 2 auf, weil du jetzt BEIDE Verfahren kennst).
Transfer und Begründung: Du wendest die Verfahren im Sachkontext an und begründest, warum Division durch eine Variable verboten ist.

Phase 1: Warum reicht grafisches Lösen nicht? (Stunde 1)

Einstieg

Retrieval GatePflicht

In Kapitel 2 hast du $x^2 - 2x - 1 = 0$ grafisch gelöst. Wie genau war dein Ergebnis? Waren die Lösungen ganzzahlig?

Retrieval GatePflicht

Welches Problem hat das grafische Verfahren bei nicht-ganzzahligen Lösungen?

Zwei Lösungen, nicht eine!

Löse die Gleichung $x^2 = 9$ .

Tipp

Du kennst die Quadratwurzeln. Was ergibt $3^2$ ? Und was ergibt $(-3)^2$ ?

Achtung

Typischer Fehler: „ $x^2 = 9$ , also $x = 3$ ."

Das ist unvollständig! Auch $x = -3$ ist eine Lösung, denn $(-3)^2 = 9$ . Bei $x^2 = e$ gibt es immer zwei Lösungen: $x = +\sqrt{e}$ und $x = -\sqrt{e}$ , kurz $x = \pm\sqrt{e}$ .

Merke: Die Taste $\sqrt{\ }$ auf dem Taschenrechner liefert nur die positive Wurzel. Die Gleichung hat aber zwei Lösungen.

Darf man durch $x$ teilen?

Löse die Gleichung $x^2 = 3x$ .

Tipp

Viele Schüler lösen diese Gleichung, indem sie beide Seiten durch $x$ teilen. Versuche es — und überprüfe dann mit einer Probe, ob du ALLE Lösungen gefunden hast.

Interaktive Erforschung: Division vs. Ausklammern

Division vs. Ausklammern

Erlebe, warum Division durch x eine Loesung verliert und Ausklammern der sichere Weg ist.

Gleichung

x^2 - 5x = 0

Weg A: Division durch x

Beide Seiten durch x teilen:

x^2 - 5x = 0

|: x

x - 5 = 0

x = 5,00

Nur EINE Loesung!

x = 0 fehlt!

Weg B: Ausklammern

x ausklammern:

x^2 - 5x = 0

x \cdot (x - 5) = 0

Nullproduktsatz anwenden:

x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x_2 = 5,00

ZWEI Loesungen!

Probe fuer x = 0:

1 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 = 0 \; \checkmark

x = 0 ist tatsaechlich eine Loesung!

Division durch x ist keine Aequivalenzumformung — die Loesung x = 0 geht verloren!

a (Koeffizient)1

d (Koeffizient)-5

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Arbeitsauftrag:

Gib die Gleichung $x^2 - 5x = 0$ ein. Löse sie auf Weg (A): beide Seiten durch $x$ teilen. Welche Lösung erhältst du?
Löse dieselbe Gleichung auf Weg (B): $x$ ausklammern, also $x(x - 5) = 0$ . Welche Lösungen erhältst du?
Vergleich: Welche Lösung fehlt bei Weg (A)? Setze sie zur Probe in die Originalgleichung ein.
Probiere zwei weitere Gleichungen: $3x^2 + 6x = 0$ und $x^2 = 4x$ .
Fazit: Erkläre in einem Satz, warum man eine Gleichung nicht durch $x$ teilen darf. Was ist der Unterschied zu einer Teilung durch eine Zahl wie $2$ ?

Du brauchst also zwei neue Verfahren, die exakte Lösungen liefern — und zwar alle Lösungen:

Wurzelziehen für Gleichungen ohne $x$ -Term (kein $bx$ ).
Ausklammern für Gleichungen ohne absolutes Glied (kein $c$ ).

Phase 2: Wurzelziehen und Ausklammern (Stunde 1–2)

Konzeptaufbau

Retrieval GatePflicht

Was bedeutet $\sqrt{25}$ ? Und was ist der Unterschied zwischen $\sqrt{25}$ und den Lösungen von $x^2 = 25$ ?

Retrieval GatePflicht

Nenne die drei Fälle für die Lösungsanzahl einer quadratischen Gleichung.

Verfahren 1: Lösen durch Wurzelziehen

Wenn in einer quadratischen Gleichung kein $x$ -Term vorkommt (also kein $bx$ ), lässt sie sich durch Wurzelziehen lösen.

Idee: Bringe die Gleichung auf die Form $x^2 = e$ und ziehe die Wurzel.

Hinweis

Lösen durch Wurzelziehen

Für die Gleichung $x^2 = e$ gilt:

Falls $e > 0$ : Zwei Lösungen $x_{1/2} = \pm\sqrt{e}$ .
Falls $e = 0$ : Eine Lösung $x = 0$ .
Falls $e < 0$ : Keine Lösung (kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ).

Bei $ax^2 - c = 0$ ( $a \neq 0$ ): Erst durch $a$ dividieren, dann Wurzel ziehen.

Diagnoseaufgabe (F02)

Kim löst $x^2 = 25$ und schreibt: „ $x = 5$ , also $\mathbb{L} = \{5\}$ ."

Hat Kim recht? Begründe.

Worked Example 1 (vollständig): Wurzelziehen

Self-Explanation: In Schritt 2 haben wir durch $2$ dividiert. In Phase 1 hast du gesehen, dass man NICHT durch $x$ dividieren darf. Warum ist die Division durch $2$ hier erlaubt?

Verfahren 2: Lösen durch Ausklammern

Wenn in einer quadratischen Gleichung kein absolutes Glied vorkommt (also kein $c$ ), lässt sie sich durch Ausklammern lösen.

Idee: Klammere $x$ (oder den größten gemeinsamen Faktor) aus und wende die Nullprodukt-Eigenschaft an.

Was ist die Nullprodukt-Eigenschaft?

Arbeitsauftrag:

Stelle den Schieberegler für $A$ auf verschiedene Werte ( $-3, -1, 0, 2, 5$ ). Beobachte das Produkt $P = A \cdot B$ .
Vermutung: Bei welchem Wert von $A$ wird das Produkt Null — unabhängig davon, wo $B$ steht? Notiere deine Vermutung.
Überprüfung: Stelle $A = 0$ ein und schiebe $B$ von $-5$ bis $5$ . Was beobachtest du?
Stelle nun $B = 0$ ein und schiebe $A$ . Passiert dasselbe?
Gibt es eine Stellung, bei der das Produkt Null ist, ohne dass $A$ oder $B$ gleich Null ist? Probiere es aus.
Fazit: Formuliere eine Regel: Wann ist ein Produkt zweier Zahlen gleich Null?

Hinweis

Nullprodukt-Eigenschaft (Satz vom Nullprodukt)

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist:

$A \cdot B = 0 \quad\Leftrightarrow\quad A = 0 \;\text{ oder }\; B = 0$

Diese Eigenschaft ist die Grundlage für alle Verfahren, die quadratische Gleichungen über Faktorisierung lösen — du wirst sie in den nächsten Kapiteln immer wieder brauchen.

Worked Example 2 (vollständig): Ausklammern

Self-Explanation: Im Schritt 2 haben wir $3x$ ausgeklammert, nicht nur $x$ . Hätten wir auch nur $x$ ausklammern können? Was wäre anders?

Achtung

Zur Erinnerung: Auch hier gilt: Dividiere NICHT durch $x$ (wie in Phase 1 entdeckt). $x$ ausklammern und Nullprodukt anwenden liefert ALLE Lösungen — einschließlich $x = 0$ .

Hinweis

Lösen durch Ausklammern

Für Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$ :

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus: $x(ax + b) = 0$ .
Wende die Nullprodukt-Eigenschaft an: $x = 0$ oder $ax + b = 0$ .
Löse die lineare Gleichung $ax + b = 0$ .

Ergebnis: Die Lösung $x = 0$ ist immer dabei.

Completion Problem (1 Lücke)

Löse die Gleichung $x^2 - 7x = 0$ .

Schritt 1 — Ausklammern:

$x^2 - 7x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(\text{\_\_\_}) = 0$

Vervollständige: Was bleibt nach dem Ausklammern von $x$ in der Klammer?

Schritt 2 — Nullprodukt:

$x = 0$ oder $\text{\_\_\_} = 0$

Schritt 3 — Probe.

Eigenständige Aufgabe

Löse $5x^2 + 20x = 0$ .

Phase 3: Verfahren wählen und üben (Stunde 2–3)

Üben

Retrieval GatePflicht

Wann wendest du Wurzelziehen an, wann Ausklammern? Formuliere eine kurze Regel.

Retrieval GatePflicht

Wie viele Lösungen hat $x^2 = 0$ ?

Retrieval GatePflicht

Löse $x^2 - 4 = 0$ durch Wurzelziehen. Vergleiche: Stimmt das Ergebnis mit dem grafischen Lösen überein?

Entscheidungsbaum: Welches Verfahren?

Hinweis

Verfahrenswahl bei einfachen quadratischen Gleichungen

Prüfe die Struktur der Gleichung:

Kein $x$ -Term (kein $bx$ ): → Wurzelziehen. Bringe auf die Form $x^2 = e$ .
Kein absolutes Glied (kein $c$ ): → Ausklammern. Klammere $x$ aus und nutze die Nullprodukt-Eigenschaft.

Gemischte Übungen

Bestimme bei jeder Gleichung zuerst den Typ (Wurzelziehen oder Ausklammern) und löse dann.

Aufgabe 1: $x^2 - 36 = 0$

Aufgabe 2: $x^2 - 225 = 0$

Aufgabe 3: $2x^2 - 98 = 0$

Aufgabe 4: $(x-3)(x-4) = 0$

Aufgabe 5: $(x-2)(x+1) = 0$

Aufgabe 6: $x\left(x + \frac{1}{2}\right) = 0$

Klausurvorbereitungs-Aufgaben

Aufgabe 7: $x^2 + 121 = 0$

Aufgabe 8: $x^2 - 441 = 0$

Aufgabe 9: $2x^2 - 12x = 0$

Aufgabe 10: $x^2 - 2x = 0$

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 1 und 2

Aufgabe 11: Löse $x^2 - 4x + 3 = 0$ grafisch. Vergleiche: Geht es auch durch Wurzelziehen oder Ausklammern?

Aufgabe 12: Gib die faktorisierte Form von $f(x) = x^2 - 36$ an. Nutze deine Lösung aus Aufgabe 1.

Aufgabe 13: Bestimme die Nullstellen von $f(x) = x^2 + 5x$ algebraisch und skizziere den Graphen.

Abgabe-Aufgaben

Aufgabe A1 (AFB I): Löse $3x^2 - 48 = 0$ .

Aufgabe A2 (AFB II): Löse $4x^2 = 20x$ . Gib die Lösungsmenge an.

Aufgabe A3 (AFB III): Erkläre, warum $x^2 + 9 = 0$ keine Lösung hat. Begründe sowohl algebraisch als auch grafisch.

Selbsteinschätzung

Selbstdiagnose

Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Phase 4: Transfer und Begründung (Stunde 3–4)

Transfer

MC-Test: Einfache Lösungsverfahren

Transferaufgabe: Quadratische Fläche

Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von $A = 50\,\text{cm}^2$ .

(a) Stelle eine Gleichung für die Seitenlänge $s$ auf.

(b) Löse die Gleichung durch Wurzelziehen. Gib die Lösung exakt und als Näherungswert an.

(c) Warum gibt es im Sachkontext nur eine sinnvolle Lösung, obwohl die Gleichung zwei Lösungen hat?

Begründungsaufgabe: Division durch Variable vs. Konstante

Erkläre in eigenen Worten

Warum darf man bei x² = 5x NICHT beide Seiten durch x teilen, bei 2x² = 10 aber SCHON beide Seiten durch 2 teilen? Was ist der entscheidende Unterschied?

Vernetzung

Tipp

Ausblick auf Kapitel 4: Du kannst jetzt Gleichungen ohne $x$ -Term (Wurzelziehen) und Gleichungen ohne absolutes Glied (Ausklammern) lösen. Aber was ist mit Gleichungen wie $x^2 + 3x - 10 = 0$ , die beide Terme haben? Im nächsten Kapitel lernst du den Satz von Vieta — ein systematisches Verfahren, um solche Gleichungen über die faktorisierte Form zu lösen.

Einfache Lösungsverfahren

Lernziele

Voraussetzungen — Check-in

Voraussetzungen

Selbsttest

Lernweg

Phase 1: Warum reicht grafisches Lösen nicht? (Stunde 1)

Einstieg

Zwei Lösungen, nicht eine!

Darf man durch xxx teilen?

Interaktive Erforschung: Division vs. Ausklammern

Division vs. Ausklammern

Weg A: Division durch x

Weg B: Ausklammern

Phase 2: Wurzelziehen und Ausklammern (Stunde 1–2)

Konzeptaufbau

Verfahren 1: Lösen durch Wurzelziehen

Diagnoseaufgabe (F02)

Worked Example 1 (vollständig): Wurzelziehen

Verfahren 2: Lösen durch Ausklammern

Was ist die Nullprodukt-Eigenschaft?

Nullprodukt-Eigenschaft

Worked Example 2 (vollständig): Ausklammern

Completion Problem (1 Lücke)

Eigenständige Aufgabe

Phase 3: Verfahren wählen und üben (Stunde 2–3)

Üben

Entscheidungsbaum: Welches Verfahren?

Gemischte Übungen

Klausurvorbereitungs-Aufgaben

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 1 und 2

Abgabe-Aufgaben

Selbsteinschätzung

Phase 4: Transfer und Begründung (Stunde 3–4)

Transfer

MC-Test: Einfache Lösungsverfahren

Transferaufgabe: Quadratische Fläche

Begründungsaufgabe: Division durch Variable vs. Konstante

Vernetzung

Reflexion

Weg A: Division durch x

Weg B: Ausklammern

Darf man durch $x$ teilen?