Linearfaktorzerlegung

Voraussetzungen

Selbsttest

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

1. Wann kann man Lösungen direkt ablesen? Du untersuchst Gleichungen in Produktschreibweise und entdeckst: Wenn die rechte Seite Null ist, liefert die Nullprodukt-Eigenschaft sofort die Lösungen. Aber wie kommt man ZUR Produktform? (motiviert die Frage des Kapitels).
2. Der Satz von Vieta: Du lernst, wie man die Normalform $x^2 + px + q = 0$ in die faktorisierte Form $(x + r)(x + s) = 0$ umwandelt — durch systematisches Durchprobieren der Teilerpaare von $q$ (baut auf Phase 1 auf, weil du jetzt ein Verfahren brauchst, um die Produktform zu FINDEN).
3. Üben und Verfahrenswahl: Du übst Vieta an verschiedenen Gleichungen und lernst, wann du Vieta, wann Wurzelziehen und wann Ausklammern einsetzt (baut auf Phase 2 auf, weil du jetzt DREI algebraische Verfahren kennst).
4. Transfer und Grenzen: Du wendest Vieta auf ein Zahlenrätsel an und begründest, warum das Verfahren manchmal scheitert — Motivation für die pq-Formel in Kapitel 5.

Phase 1: Wann kann man Lösungen direkt ablesen? (Stunde 1)

Lösungen ablesen — aber nur manchmal

In Kapitel 1 hast du Flugkurven-Gleichungen in der Produktschreibweise kennengelernt. Hier sind vier davon:

• P1: $-0{,}01 \cdot (x + 2)(x - 77) = 0$
• P2: $-0{,}02 \cdot (x + 1)(x - 72) = 0$
• P3: $-0{,}01 \cdot (x - 35) \cdot x = 0$
• P4: $-0{,}025 \cdot (x + 4)(x - 14) = 0$

Aber nicht immer funktioniert das Ablesen:

• P5: $-0{,}008 \cdot (x - 122) \cdot x = 20$
• P6: $-(x - 1)(x - 18) = 20$

Die Frage dieses Kapitels

Du weißt jetzt: Wenn eine Gleichung in der Produktform $(x + r)(x + s) = 0$ steht, kannst du die Lösungen direkt ablesen.

Aber in der Schule begegnest du Gleichungen meist in der Normalform $x^2 + px + q = 0$, z.B. $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Phase 2: Der Satz von Vieta (Stunde 1–2)

Vom Ausmultiplizieren zur Faktorisierung

Wenn du $(x + r)(x + s)$ ausmultiplizierst, erhältst du:

Vergleich mit $x^2 + px + q$:

Die Idee: Um $x^2 + px + q = 0$ zu faktorisieren, suchst du zwei Zahlen $r$ und $s$, deren Summe $p$ und deren Produkt $q$ ist. Dann ist $(x + r)(x + s) = 0$ die faktorisierte Form.

Worked Example: Vieta

Self-Explanation: Im Worked Example ist $r = -2$ und $s = 5$, und die Lösungen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = -5$. Warum sind die Lösungen $-r$ und $-s$ — und nicht $r$ und $s$ selbst?

Diagnoseaufgabe (F09)

Interaktive Erforschung: Teiler-Checker

Arbeitsauftrag:

1. Gib $p = 5$ und $q = 6$ ein (Gleichung: $x^2 + 5x + 6 = 0$). Das Applet zeigt die Teilerpaare von $6$. Welches Paar hat die Summe $5$?
2. Klicke auf das passende Paar. Welche Lösungen zeigt das Applet? Überprüfe: Ist $x_1 + x_2 = p$ oder $x_1 + x_2 = -p$?
3. Gib jetzt $p = 3$, $q = -10$ ein (Gleichung: $x^2 + 3x - 10 = 0$). Finde das passende Teilerpaar. Beachte: $q$ ist negativ — welche Vorzeichen haben $r$ und $s$?
4. Probiere selbst: $x^2 - 7x + 12 = 0$ (also $p = -7$, $q = 12$).
5. Fazit: Formuliere die Vieta-Probe: Wie hängen $x_1 + x_2$ und $x_1 \cdot x_2$ mit $p$ und $q$ zusammen?

Completion Problem (1 Lücke)

Löse die Gleichung $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Schritt 1 — Ansatz:

$p = -5$, $q = -6$. Gesucht: $r + s = \text{\_\_\_}$ und $r \cdot s = \text{\_\_\_}$.

Vervollständige: Setze $p$ und $q$ ein.

Schritt 2 — Teilerpaare von $q$ durchprobieren:

$\text{\_\_\_}$

Schritt 3 — Faktorisieren:

$(x + \text{\_\_\_})(x + \text{\_\_\_}) = 0$

Schritt 4 — Probe.

Eigenständige Aufgabe

Löse $x^2 + 8x + 15 = 0$ durch Vieta.

Phase 3: Üben und Verfahrenswahl (Stunde 2–3)

Entscheidungsbaum: Welches Verfahren? (erweitert)

§8 Aufgabe 4: Zuordnung Gleichung ↔ Lösungsmenge

Ordne jede Gleichung der richtigen Lösungsmenge zu. Nutze den Satz von Vieta oder setze die Lösungen zur Probe ein.

Gleichungen:

• (A) $x^2 - 2x + 1 = 0$
• (B) $x^2 + 6x - 7 = 0$
• (C) $2x^2 + 8x + 6 = 0$
• (D) $x^2 - 2{,}5x + 1 = 0$

§8 Aufgabe 5: Vieta-Tabelle

Fülle die Tabelle aus. Bestimme $p$, $q$, die Teilerpaare, die Lösungen und die Vieta-Probe.

Aufgabe 1: $x^2 - 2x - 8 = 0$

Aufgabe 2: $x^2 + 8x + 15 = 0$

Aufgabe 3: $x^2 - 5x - 6 = 0$

Klausurvorbereitungs-Aufgabe

Aufgabe 4 (aus §10 R1 Aufg. 4): Der Graph einer quadratischen Funktion hat die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 4$. Gib die Linearfaktordarstellung und die Normalform an.

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 1–3

Aufgabe 5: Löse $x^2 + 6x = 0$. Welches Verfahren?

Aufgabe 6: Löse $x^2 - 49 = 0$. Welches Verfahren?

Aufgabe 7: Löse $x^2 - 4x + 3 = 0$ mit Vieta. Vergleiche: Stimmt dein Ergebnis mit dem grafischen Lösen aus Kapitel 2 überein?

Aufgabe 8: Gib die faktorisierte Form von $f(x) = x^2 + 2x - 15$ an. Bestimme den Scheitelpunkt.

Abgabe-Aufgaben

Aufgabe A1 (AFB I): Löse $x^2 + 7x + 10 = 0$ durch Vieta.

Aufgabe A2 (AFB II): Löse $x^2 - x - 12 = 0$. Gib die Lösungsmenge und die faktorisierte Form an.

Aufgabe A3 (AFB III): Erkläre, warum der Satz von Vieta bei der Gleichung $x^2 + 2x - 1 = 0$ scheitert. Was müsste man stattdessen tun?

Selbsteinschätzung

Phase 4: Transfer und Grenzen (Stunde 3–4)

MC-Test: Linearfaktorzerlegung

Transferaufgabe: Zahlenrätsel

Finde zwei Zahlen, deren Summe $11$ und deren Produkt $28$ ist.

(a) Stelle eine quadratische Gleichung auf, die diese beiden Zahlen als Lösungen hat.

(b) Löse die Gleichung mit Vieta.

(c) Überprüfe: Stimmen Summe und Produkt?

Begründungsaufgabe: Grenzen von Vieta

Vernetzung

Reflexion