Quadratische Gleichungen grafisch lösen

Voraussetzungen

Selbsttest

Lernweg

Arbeite dieses Kapitel in vier Schritten:

1. Eine Gleichung ohne Formel lösen: Du stehst vor einer Gleichung, die du noch nicht rechnerisch lösen kannst — und entdeckst, dass der Graph die Antwort liefert.
2. Zwei Methoden des grafischen Lösens: Du lernst zwei Wege, Gleichungen am Graphen zu lösen, und übst sie an Beispielen (baut auf Phase 1 auf, weil du jetzt ein VERFAHREN brauchst).
3. Null, eine oder zwei Lösungen: Du untersuchst systematisch, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung haben kann — und widerlegst die Vorstellung, dass jede Gleichung eine Lösung hat.
4. Grafisches Lösen anwenden: Du löst Transferaufgaben (Ballwurf) und begründest, wann eine Gleichung keine Lösung hat.

Phase 1: Eine Gleichung ohne Formel lösen (Stunde 1)

Problemstellung

Löse die Gleichung $x^2 - x - 2 = 0$.

Du kennst die Funktion $f(x) = x^2 - x - 2$ — ihren Graphen kannst du zeichnen. Die Stellen, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet, sind genau die Nullstellen — und damit die Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$.

Phase 2: Zwei Methoden des grafischen Lösens (Stunde 1–2)

Methode 1: Nullstellen am Graphen ablesen

Worked Example 1 (vollständig): Nullstellen ablesen

Self-Explanation: In Schritt 1 haben wir die Gleichung $x^2 - x - 2 = 0$ in die Form $f(x) = 0$ gebracht und die Nullstellen gesucht. Warum ist „Lösung der Gleichung $f(x) = 0$" dasselbe wie „Nullstelle der Funktion $f$"?

Interaktive Erforschung: Nullstellen am Graphen

Arbeitsauftrag:

1. Du siehst den Graphen von $f(x) = x^2 - x + c$ mit einem Schieberegler für $c$. Stelle $c = -2$ ein und lies die Nullstellen ab. Stimmen sie mit dem Worked Example überein?
2. Verändere $c$ langsam. Was passiert mit den Nullstellen?
3. Stelle $c = 1$ ein. Lies die Nullstellen ab. Sind es ganzzahlige Werte?
4. Stelle $c = 2$ ein. Wie viele Schnittpunkte mit der $x$-Achse gibt es?
5. Fazit: Erkläre in einem Satz, was die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse mit den Lösungen der Gleichung zu tun haben.

Methode 2: Normalparabel und Gerade

Es gibt einen zweiten Weg: Statt den Graphen von $f(x) = x^2 - x - 2$ zu zeichnen, kannst du die Gleichung umformen.

Jetzt stehen links und rechts zwei Funktionen: $f(x) = x^2$ (die Normalparabel) und $g(x) = x + 2$ (eine Gerade). Die $x$-Werte, an denen beide Funktionen denselben $y$-Wert haben, sind die Schnittpunkte — und genau die Lösungen der Gleichung.

Interaktive Erforschung: Normalparabel trifft Gerade

Arbeitsauftrag:

1. Du siehst die Normalparabel $f(x) = x^2$ und die Gerade $g(x) = x + 2$. Wo schneiden sie sich? Notiere die $x$-Werte und vergleiche mit dem Ergebnis von Methode 1.
2. Forme die Gleichung $x^2 - x - 2 = 0$ so um, dass links nur $x^2$ steht. Vergleiche die rechte Seite mit der Geraden im Applet.
3. Schieberegler: Verändere den $y$-Achsenabschnitt $n$ der Geraden. Bei welchem Wert von $n$ berührt die Gerade die Parabel genau einmal?
4. Schiebe weiter: Bei welchem Wert gibt es keinen Schnittpunkt mehr?
5. Fazit: Wann hat die Gleichung $x^2 = mx + n$ zwei Lösungen, wann eine, wann keine?

Completion Problem (2 Lücken)

Löse die Gleichung $x^2 + 2x - 3 = 0$ grafisch mit Methode 2.

Schritt 1 — Umformen:

$x^2 + 2x - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 =$ Vervollständige: Bringe alles außer $x^2$ auf die rechte Seite.

Schritt 2 — Zeichnen:

Normalparabel: $f(x) = x^2$.

Gerade: $g(x) =$ Vervollständige: Was ist die rechte Seite aus Schritt 1?

Schritt 3 — Ablesen:

Zeichne beide Graphen und lies die Schnittpunkte ab.

Schritt 4 — Probe:

Setze deine Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein.

Eigenständige Aufgabe

Löse $x^2 - 4x + 3 = 0$ grafisch. Wähle selbst eine der beiden Methoden. Begründe deine Wahl.

Phase 3: Null, eine oder zwei Lösungen (Stunde 2–3)

Drei Fälle: Wie viele Lösungen?

In Phase 2 hast du schon beobachtet: Manchmal hat eine Gleichung zwei Lösungen, manchmal weniger. Jetzt systematisieren wir das.

Arbeitsauftrag:

1. Du siehst die Parabel $f(x) = (x - 2)^2 + e$ mit einem Schieberegler für $e$. Stelle $e = -4$ ein. Wie viele Schnittpunkte mit der $x$-Achse gibt es? Lies die Nullstellen ab.
2. Schiebe $e$ langsam nach oben. Bei welchem Wert von $e$ berührt die Parabel die $x$-Achse genau einmal?
3. Schiebe weiter: Bei welchem Wert verschwinden die Schnittpunkte komplett?
4. Fülle die Tabelle aus:

5. Fazit: Formuliere eine Regel: Wann hat eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung?

Typischer Fehler: „Jede Gleichung hat eine Lösung"

Tim sagt: „$x^2 + 1 = 0$ hat die Lösung $x = 1$, weil $1^2 + 1 = 2$ ... ähm, das klappt nicht. Dann $x = -1$, weil $(-1)^2 + 1 = 2$ ... das klappt auch nicht. Irgendwas stimmt nicht."

Zeichne den Graphen von $f(x) = x^2 + 1$. Was beobachtest du? Warum hat die Gleichung tatsächlich keine Lösung?

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Löse grafisch: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Aufgabe 2: Löse grafisch: $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Aufgabe 3: Löse grafisch: $-x^2 - 6x - 9 = 0$.

Aufgabe 4: Bestimme ohne zu rechnen (nur durch Überlegung): Wie viele Lösungen hat $x^2 + 3 = 0$? Begründe mit dem Graphen.

Interleaving: Verbindung zu Kapitel 1

Aufgabe 5: Du hast in Aufgabe 1 die Nullstellen von $f(x) = x^2 - 7x + 10$ als $x_1 = 2$ und $x_2 = 5$ bestimmt. Gib die faktorisierte Form an.

Aufgabe 6: Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 2x - 1$ durch quadratische Ergänzung.

Aufgabe 7 (gemischt): Zeichne den Graphen von $f(x) = -x^2 + 4x$ und bestimme Nullstellen, Scheitelpunkt und $y$-Achsenabschnitt.

Abgabe-Aufgaben

Aufgabe A1 (AFB I): Zeichne den Graphen von $f(x) = x^2 - 4x$ und lies die Nullstellen ab.

Aufgabe A2 (AFB II): Löse $x^2 + 2x - 8 = 0$ mit Methode 2 (Normalparabel + Gerade). Gib die Lösungsmenge an.

Aufgabe A3 (AFB III): Erkläre, warum die Gleichung $x^2 + 2x + 5 = 0$ keine Lösung hat. Nutze den Graphen als Argument.

Selbsteinschätzung

Phase 4: Grafisches Lösen anwenden (Stunde 3–4)

MC-Test: Grafisches Lösen

Transferaufgabe: Ballwurf

Ein Ball wird geworfen. Seine Höhe über dem Boden wird beschrieben durch:

$f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}25x + 1{,}75$

Dabei ist $x$ die horizontale Entfernung zum Abwurfpunkt (in Metern) und $f(x)$ die Höhe (in Metern).

(a) In welcher Höhe startet der Ball?

(b) Bestimme grafisch, wo der Ball den Boden erreicht (d.h. löse $f(x) = 0$).

(c) In welcher Entfernung ist der Ball genau $3$ m hoch? Löse $f(x) = 3$ grafisch.

Begründungsaufgabe

Vernetzung

Reflexion