Erkundung: Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Lernziele

Nach dieser Erkundung kannst du:

durch eigenes Messen entdecken, dass die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Winkel abhängen
die drei Verhältnisse a/c, b/c und a/b den Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zuordnen
erklären, warum der Tangens das Verhältnis Gegenkathete/Ankathete beschreibt

Leitfrage: Welche Muster verbergen sich in den Seitenverhältnissen eines rechtwinkligen Dreiecks — und was haben sie mit den Tasten sin, cos und tan auf dem Taschenrechner zu tun?

Schritt 1 von 3

Voraussetzungen — Check-in

Hinweis

Bevor du mit dieser Erkundung startest, solltest du Kapitel 1 (Sinus und Kosinus) durchgearbeitet haben.

Retrieval GatePflicht

1. Was bedeutet $\sin(\alpha)$ im rechtwinkligen Dreieck?

2. Wie heißen die drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck bezüglich eines Winkels $\beta$ ?

Die Seite gegenüber von $\beta$ ist die Gegenkathete, die Seite neben $\beta$ (am rechten Winkel) ist die Ankathete, und die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse.

Forschungsauftrag

In Kapitel 1 hast du gelernt, dass $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ feste Verhältnisse sind, die nur vom Winkel abhängen. Aber es gibt noch ein drittes Seitenverhältnis, das wir bisher nicht untersucht haben: das Verhältnis der beiden Katheten zueinander.

In dieser Erkundung untersuchst du alle drei Seitenverhältnisse systematisch — und findest heraus, welches Verhältnis zu welcher Taschenrechnertaste gehört.

Simulation: Erkundung der Seitenverhältnisse

Erkundung der Seitenverhaeltnisse

Erforsche die Seitenverhaeltnisse im rechtwinkligen Dreieck und entdecke Sinus, Kosinus und Tangens.

Winkel β35°

10°25°40°55°70°80°

Ankathete b (Position von C)5,0

246810

#	a	b	c	a/c	b/c	a/b
Verschiebe den Slider und klicke "Messung speichern"

Applet wird geladen...

Arbeitsaufträge

Hinweis

So gehst du vor: Arbeite die folgenden Aufträge der Reihe nach ab. Notiere deine Beobachtungen schriftlich.

Auftrag 1: Stelle $\beta = 24°$ ein. Verschiebe die Dreiecksgröße dreimal und speichere jeweils die Messung. Betrachte die Spalten $\frac{a}{c}$ , $\frac{b}{c}$ und $\frac{a}{b}$ . Was fällt dir auf?

Auftrag 2: Wähle drei weitere Winkel (z. B. $\beta = 35°$ , $\beta = 50°$ , $\beta = 70°$ ) und wiederhole den Vorgang. Formuliere eine Vermutung: Wovon hängen die Seitenverhältnisse ab?

Auftrag 3: Decke die Taschenrechnerwerte auf. Welche Tabellenspalte passt zu welcher Taste ( $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ )?

Auftrag 4: Stelle $\beta = 45°$ ein. Was erwartest du für die Verhältnisse, bevor du misst? Überprüfe mit der Simulation.

Sicherung und Übung

Tipp

Drei Seitenverhältnisse — drei Funktionen:

In jedem rechtwinkligen Dreieck gibt es für einen Winkel $\beta$ drei feste Seitenverhältnisse:

$\sin(\beta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \tan(\beta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Alle drei hängen nur vom Winkel ab — nicht von der Größe des Dreiecks.

Seitenverhältnisse zuordnen (AFB I)

Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Winkel $\beta = 37°$ bei B und den rechten Winkel bei C. Die Seiten sind: $a = 6$ , $b = 8$ , $c = 10$ .

Berechne die drei Seitenverhältnisse $\frac{a}{c}$ , $\frac{b}{c}$ und $\frac{a}{b}$ und vergleiche sie mit den Taschenrechnerwerten $\sin(37°)$ , $\cos(37°)$ und $\tan(37°)$ .

Textabgabe

Du hast entdeckt, dass es neben Sinus und Kosinus ein drittes Seitenverhältnis gibt: den Tangens. Im nächsten Kapitel lernst du, wie der Tangens mit der Steigung einer Geraden zusammenhängt — und warum er in der Praxis besonders nützlich ist.