Kapitel 5: Der Sinussatz

Selbsttest Voraussetzungen

Productive-Failure-Aufgabe

Von einem Punkt P an einem See werden zwei Häuser A und B angepeilt. Die Seite $c = PA = 300\,\text{m}$ wird gemessen, die Winkel $\alpha = 70°$ (bei A) und $\beta = 60°$ (bei B).

Aufgabe: Berechne den Abstand $b = PB$.

Exkursion: Sinus für Winkel zwischen 90° und 180°

Bevor wir den Sinussatz vollständig nutzen, müssen wir klären: Was ist $\sin(\alpha)$ für $\alpha > 90°$? Im rechtwinkligen Dreieck gibt es keine Winkel über $90°$!

Simulation: Sinus am Einheitskreis

Arbeitsaufträge zur Simulation:

1. Bewege $\alpha$ langsam von $0°$ bis $180°$. Beschreibe, wie sich $\sin(\alpha)$ verändert.
2. Stelle $\alpha = 30°$ ein. Lies $\sin(30°)$ ab. Finde nun einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert. Nutze dafür das Eingabefeld.
3. Aktiviere das rechtwinklige Dreieck. Vergleiche das Dreieck bei $\alpha = 40°$ und bei $\alpha = 140°$. Was ist gleich, was ist unterschiedlich?
4. Erkläre in eigenen Worten, warum der Sinussatz für stumpfwinklige Dreiecke zwei Lösungen liefern kann.

Konsolidierung

Erkläre in eigenen Worten: Warum brauchen wir neben dem Kosinussatz noch den Sinussatz?

Retrieval Gate

Definition: Der Sinussatz

Wann Kosinussatz, wann Sinussatz?

Worked Example 1 (vollständig): WSW — Entfernung über einen See (AFB II)

Self-Explanation-Prompt: Warum konnte man hier nicht den Kosinussatz verwenden?

Worked Example 2 (vollständig): SSW — Mehrdeutigkeit (AFB II)

Completion Problem (1 Lücke)

Im Dreieck gilt $a = 5\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $\beta = 30°$. Bestimme $\alpha$.

Schritt 1: SSW. Sinussatz: $\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5 \cdot \sin(30°)}{4} = \frac{5 \cdot 0{,}5}{4} = 0{,}625$

Schritt 2: $\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}625) = 38{,}7°$ und $\alpha_2 = 180° - 38{,}7° = 141{,}3°$

Schritt 3: Prüfung: $\alpha_2 + \beta = 141{,}3° + 30° = 171{,}3° < 180°$ → beide Lösungen möglich!

Schritt 4: Vervollständige: Berechne $\gamma$ für beide Fälle und interpretiere.

Completion Problem (2 Lücken)

Im Dreieck gilt $\alpha = 70°$, $\beta = 60°$, $c = 20\,\text{cm}$. Bestimme $a$ und $b$.

Schritt 1: WSW. $\gamma = 180° - 70° - 60° = 50°$. Sinussatz: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Vervollständige Schritte 2, 3 und 4.

Sicherung

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Bestimme die Seite $a$ im Dreieck mit $\alpha = 80°$, $\gamma = 45°$, $c = 10\,\text{cm}$.

Aufgabe B (AFB I): Im Dreieck gilt $a = 4\,\text{cm}$, $b = 10\,\text{cm}$, $\beta = 102°$. Bestimme $\alpha$.

Aufgabe C (AFB II): Bestimme zu $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ zwei Winkelgrößen zwischen $0°$ und $180°$.

Interleaved Practice

Aufgabe D (gemischt): Entscheide jeweils: Kosinussatz oder Sinussatz?

(a) $a = 7$, $b = 9$, $c = 12$. Gesucht: $\gamma$. (b) $\alpha = 45°$, $\beta = 75°$, $c = 15$. Gesucht: $a$. (c) $a = 8$, $b = 6$, $\gamma = 50°$. Gesucht: $c$. (d) $a = 5$, $c = 8$, $\gamma = 80°$. Gesucht: $\alpha$.

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Wie lautet der Sinussatz?

• A: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$
• B: $a \cdot \sin(\alpha) = b \cdot \sin(\beta)$
• C: $\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b}$
• D: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

Frage 2 (AFB I)

$\sin(150°) = \;?$

• A: $0{,}5$
• B: $-0{,}5$
• C: $\sin(30°)$
• D: $-\sin(30°)$

Frage 3 (AFB I)

Bei welchem Kongruenzsatz verwendet man den Sinussatz?

• A: SSS
• B: SWS
• C: WSW
• D: SSW

Frage 4 (AFB I)

Wie viele Winkel zwischen $0°$ und $180°$ erfüllen $\sin(\alpha) = 0{,}7$?

• A: Keiner
• B: Genau einer
• C: Genau zwei
• D: Unendlich viele

Frage 5 (AFB I)

Im Dreieck mit $\alpha = 50°$, $\beta = 70°$ und $a = 10$. Wie berechnet man $b$?

• A: $b = \frac{10 \cdot \sin(70°)}{\sin(50°)}$
• B: $b = \frac{10 \cdot \sin(50°)}{\sin(70°)}$
• C: $b = 10 \cdot \frac{\sin(70°)}{\sin(50°)}$
• D: $b = 10 + \frac{\sin(70°)}{\sin(50°)}$

Frage 6 (AFB I)

Wann liefert der Sinussatz bei SSW zwei Lösungen?

• A: Immer
• B: Wenn die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite kürzer ist als die andere gegebene Seite
• C: Wenn $\alpha_2 + \beta < 180°$
• D: Nie

Frage 7 (AFB II)

Im Dreieck gilt $a = 4$, $b = 10$, $\beta = 102°$. Warum gibt es hier nur eine Lösung für $\alpha$?

• A: Weil $\beta > 90°$ (stumpfer Winkel ist bereits vergeben)
• B: Weil $\alpha_2 + \beta > 180°$
• C: Weil in einem Dreieck höchstens ein Winkel stumpf sein kann
• D: Weil $a < b$

Frage 8 (AFB II)

Welche der folgenden Konstellationen kann mit dem Kosinussatz nicht direkt gelöst werden?

• A: $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 50°$
• B: $a = 5$, $b = 7$, $c = 9$
• C: $\alpha = 40°$, $\beta = 70°$, $c = 12$
• D: $a = 5$, $\alpha = 40°$, $b = 7$

Frage 9 (AFB II)

$\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$ gilt, weil:

• A: Der Sinus am Einheitskreis die y-Koordinate ist und diese bei $\alpha$ und $180° - \alpha$ gleich ist
• B: Es so definiert wird
• C: Die Dreiecke bei $\alpha$ und $180° - \alpha$ dieselbe Höhe haben
• D: $\cos(\alpha) = \cos(180° - \alpha)$

Frage 10 (AFB II)

Im Dreieck mit $a = b = 5$, $\beta = 60°$. Wie viele Lösungen hat $\alpha$?

• A: Keine
• B: Genau eine: $\alpha = 60°$ (gleichseitiges Dreieck)
• C: Zwei: $\alpha = 60°$ und $\alpha = 120°$
• D: Unendlich viele

Frage 11 (AFB III)

Warum ist der Sinussatz bei SSS nicht geeignet?

• A: Man braucht mindestens einen bekannten Winkel
• B: Man kann keine Gleichung mit nur einer Unbekannten aufstellen
• C: Der Sinussatz hat bei SSS zu viele Unbekannte
• D: Der Sinussatz gilt bei SSS nicht

Frage 12 (AFB III)

Wie hängen Sinussatz und Kosinussatz zusammen?

• A: Beide gelten in beliebigen Dreiecken
• B: Sie ergänzen sich: Kosinussatz für SSS/SWS, Sinussatz für WSW/SSW
• C: Man kann den Sinussatz aus dem Kosinussatz herleiten
• D: Sie widersprechen sich manchmal

Frage 13 (AFB III)

In welchem Fall existiert bei SSW kein Dreieck?

• A: Wenn $\sin(\alpha) > 1$ herauskommt
• B: Wenn $\frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} > 1$
• C: Wenn die gegebene Seite zu kurz ist, um den gegenüberliegenden Winkel zu „erreichen"
• D: Das kann nicht passieren

Frage 14 (AFB III)

Erkläre den Zusammenhang: Warum kann in einem Dreieck höchstens ein Winkel stumpf sein?

• A: Weil die Winkelsumme $180°$ beträgt
• B: Weil zwei stumpfe Winkel zusammen schon $> 180°$ wären
• C: Weil der Sinus das so vorgibt
• D: Weil die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt

Frage 15 (AFB III)

Maddalena sagt: „Im Fall SSW kann man $c$ auch mit dem Kosinussatz bestimmen, aber dann muss man eine quadratische Gleichung lösen." Hat sie recht?

• A: Ja — man setzt die bekannten Werte ein und erhält eine quadratische Gleichung in $c$
• B: Nein — der Kosinussatz funktioniert bei SSW nicht
• C: Ja — die quadratische Gleichung kann 0, 1 oder 2 Lösungen haben (analog zur Mehrdeutigkeit)
• D: Nein — der Kosinussatz liefert immer eine eindeutige Lösung

Transferaufgabe

Um die Höhe eines Berges zu bestimmen, wird der Gipfel H von den Endpunkten A und B einer $200\,\text{m}$ langen Standlinie aus angepeilt. Die Höhenwinkel betragen $\alpha = 30{,}11°$ bei A und $\beta = 35{,}25°$ bei B.

(a) Begründe, warum $h = x \cdot \tan(\beta)$ und $h = (x + 200) \cdot \tan(\alpha)$ gelten (wobei $x$ der horizontale Abstand von B zum Lotfußpunkt ist). (b) Berechne die Höhe $h$ des Berges.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Beantworte die Leitfrage: Wie berechnet man die Entfernung über einen See, wenn man nur eine Seite und zwei Winkel kennt?

Vernetzung: Der Werkzeugkasten der Trigonometrie

Du hast nun alle wichtigen Werkzeuge kennengelernt:

Musterlösungen