Luisengymnasium

Kapitel 5: Der Sinussatz

Lernziele

Nach diesem Kapitel kannst du:

  • den Sinussatz formulieren und auf beliebige Dreiecke anwenden
  • erklären, warum sin⁡(α)=sin⁡(180°−α)\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha) gilt (Erweiterung auf stumpfe Winkel)
  • den Sinussatz bei WSW- und SSW-Konstellationen einsetzen
  • erkennen, wann der Sinussatz zwei Lösungen liefert (Mehrdeutigkeit bei SSW)
  • entscheiden, ob der Kosinussatz oder der Sinussatz geeigneter ist

Leitfrage: Wie berechnet man die Entfernung über einen See, wenn man nur eine Seite und zwei Winkel kennt?

Der Kosinussatz braucht zwei Seiten. Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind, bleibt eine Lücke. Der Sinussatz schließt diese Lücke — aber bei SSW muss man aufpassen.

Schritt 1 von 5

Voraussetzungen — Check-in

Hinweis

Bevor du mit diesem Kapitel startest, prüfe, ob du den Kosinussatz und die Grundlagen von Sinus und Kosinus beherrschst.

Selbsttest Voraussetzungen

Tipp

Falls du Schwierigkeiten hattest, wiederhole Kapitel 4 (Kosinussatz) und Kapitel 1 (Sinus).

Retrieval GatePflicht

Frage 1: Schreibe die Formel des Kosinussatzes auf. Welche Kongruenzsätze kann man damit bearbeiten?

Frage 2: Welcher Kongruenzsatz WSW — kannst du ihn mit dem Kosinussatz lösen? Begründe.

Nein, WSW funktioniert nicht: Der Kosinussatz braucht zwei bekannte Seitenlängen, aber bei WSW hat man nur eine Seite und zwei Winkel.

Frage 3: Für α\alpha zwischen 0°0° und 180°180°: Warum gibt es zu jedem Sinuswert zwei mögliche Winkel?

Am Einheitskreis ist der Sinus die y-Koordinate eines Punktes. Die Punkte bei Winkel α\alpha und 180°−α180° - \alpha haben dieselbe Höhe (y-Wert), daher denselben Sinuswert.

Aktivierung und Exploration

Productive-Failure-Aufgabe

Hinweis

Arbeitsauftrag: Versuche die folgende Aufgabe zu lösen. Du wirst merken, dass der Kosinussatz allein nicht ausreicht!

Von einem Punkt P an einem See werden zwei Häuser A und B angepeilt. Die Seite c=PA=300 mc = PA = 300\,\text{m} wird gemessen, die Winkel α=70°\alpha = 70° (bei A) und β=60°\beta = 60° (bei B).

Aufgabe: Berechne den Abstand b=PBb = PB.

Hinweis

Rückgriff auf den Einheitskreis-Exkurs

Wir nutzen hier die Regel aus der Exkursion: sin⁡(α)=sin⁡(180°−α)\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha). Der Taschenrechner liefert bei sin⁡−1\sin^{-1} zuerst den spitzen Winkel. Beim Sinussatz musst du deshalb immer prüfen, ob zusätzlich der stumpfe Supplementwinkel in das Dreieck passt.

Tipp

Warum der Kosinussatz nicht reicht: Eine Seite + zwei Winkel reichen dem Kosinussatz nicht, weil ihm die zweite Seite fehlt. Der Sinussatz verbindet Seiten direkt mit ihren gegenüberliegenden Winkeln.

Achtung

Typischer Fehler: "Zu einem Sinuswert gibt es genau einen Winkel."

Gegenbeispiel: sin⁡(α)=0,5\sin(\alpha) = 0{,}5 hat zwei Lösungen: α=30°\alpha = 30° und α=150°\alpha = 150°.

Richtig: Der Taschenrechner liefert mit sin⁡−1(0,5)\sin^{-1}(0{,}5) nur den spitzen Winkel (30°30°). Den stumpfen Winkel (150°150°) muss man selbst berechnen: 180°−30°=150°180° - 30° = 150°. Ob beide Lösungen möglich sind, hängt vom Kontext ab.

Achtung

Typischer Fehler: "Der Sinussatz liefert immer eine eindeutige Lösung."

Gegenbeispiel: Im Dreieck mit a=5a = 5, b=4b = 4, β=30°\beta = 30° liefert der Sinussatz: sin⁡(α)=a⋅sin⁡(β)b=5⋅0,54=0,625\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5 \cdot 0{,}5}{4} = 0{,}625. Also α=38,7°\alpha = 38{,}7° oder α=141,3°\alpha = 141{,}3°. Beide Lösungen sind hier geometrisch möglich!

Richtig: Bei SSW (zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel) kann der Sinussatz zwei verschiedene Dreiecke liefern. Man muss prüfen, ob beide Lösungen gültig sind.

Konsolidierung

Erkläre in eigenen Worten: Warum brauchen wir neben dem Kosinussatz noch den Sinussatz?

Konzeptaufbau und Fading

Retrieval Gate

Retrieval GatePflicht

Warum hat sin(α) = 0,5 zwei Lösungen zwischen 0° und 180°?

Definition: Der Sinussatz

Hinweis

Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ABC gilt:

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

Äquivalent: sin⁡(α)a=sin⁡(β)b=sin⁡(γ)c\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}

In Worten: Das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres Gegenwinkels ist in einem Dreieck für alle drei Seiten gleich.

Anwendungsfälle:

  • WSW (2 Winkel + eingeschlossene Seite): Berechne die fehlenden Seiten.
  • SSW (2 Seiten + gegenüberliegender Winkel): Berechne den fehlenden Winkel (Vorsicht: ggf. 2 Lösungen!).

Wann Kosinussatz, wann Sinussatz?

Hinweis

Entscheidungshilfe:

GegebenVerwendeErgebnis
SSS (3 Seiten)KosinussatzWinkel
SWS (2 Seiten + eingeschl. Winkel)Kosinussatz3. Seite
WSW (2 Winkel + eingeschl. Seite)Sinussatzfehlende Seiten
SSW (2 Seiten + gegenüberl. Winkel)Sinussatzfehlender Winkel (ggf. 2 Lösungen!)

Worked Example 1 (vollständig): WSW — Entfernung über einen See (AFB II)

Self-Explanation-Prompt: Warum konnte man hier nicht den Kosinussatz verwenden?

Worked Example 2 (vollständig): SSW — Mehrdeutigkeit (AFB II)

Tipp

Zwei-Lösungen-Check bei SSW

  1. Berechne den ersten Winkel mit sin⁡−1\sin^{-1}.
  2. Berechne den zweiten möglichen Winkel: 180°−180° - erster Winkel.
  3. Prüfe die Winkelsumme mit den gegebenen Winkeln.
  4. Verwirf alle Winkel, die zusammen 180°180° oder mehr ergeben.

Completion Problem (1 Lücke)

Im Dreieck gilt a=5 cma = 5\,\text{cm}, b=4 cmb = 4\,\text{cm}, β=30°\beta = 30°. Bestimme α\alpha.

Schritt 1: SSW. Sinussatz: sin⁡(α)=a⋅sin⁡(β)b=5⋅sin⁡(30°)4=5⋅0,54=0,625\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5 \cdot \sin(30°)}{4} = \frac{5 \cdot 0{,}5}{4} = 0{,}625

Schritt 2: α1=sin⁡−1(0,625)=38,7°\alpha_1 = \sin^{-1}(0{,}625) = 38{,}7° und α2=180°−38,7°=141,3°\alpha_2 = 180° - 38{,}7° = 141{,}3°

Schritt 3: Prüfung: α2+β=141,3°+30°=171,3°<180°\alpha_2 + \beta = 141{,}3° + 30° = 171{,}3° < 180° → beide Lösungen möglich!

Schritt 4: Vervollständige: Berechne γ\gamma für beide Fälle und interpretiere.

Completion Problem (2 Lücken)

Im Dreieck gilt α=70°\alpha = 70°, β=60°\beta = 60°, c=20 cmc = 20\,\text{cm}. Bestimme aa und bb.

Schritt 1: WSW. γ=180°−70°−60°=50°\gamma = 180° - 70° - 60° = 50°. Sinussatz: asin⁡(α)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

Vervollständige Schritte 2, 3 und 4.

Sicherung

Hinweis

Sinussatz: asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

Entscheidungshilfe: Kosinussatz oder Sinussatz?

GegebenWerkzeug
SSSKosinussatz
SWSKosinussatz
WSWSinussatz
SSWSinussatz (Vorsicht: ggf. 2 Lösungen!)

Sinus für stumpfe Winkel: sin⁡(α)=sin⁡(180°−α)fu¨r 90°<α<180°\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha) \quad \text{für } 90° < \alpha < 180°

Mehrdeutigkeit bei SSW: Wenn sin⁡(α)=k\sin(\alpha) = k, prüfe beide Winkel α1=sin⁡−1(k)\alpha_1 = \sin^{-1}(k) und α2=180°−α1\alpha_2 = 180° - \alpha_1. Verwirf α2\alpha_2, wenn α2+β≥180°\alpha_2 + \beta \geq 180°.

Üben

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Bestimme die Seite aa im Dreieck mit α=80°\alpha = 80°, γ=45°\gamma = 45°, c=10 cmc = 10\,\text{cm}.

Aufgabe B (AFB I): Im Dreieck gilt a=4 cma = 4\,\text{cm}, b=10 cmb = 10\,\text{cm}, β=102°\beta = 102°. Bestimme α\alpha.

Aufgabe C (AFB II): Bestimme zu sin⁡(α)=12\sin(\alpha) = \frac{1}{2} zwei Winkelgrößen zwischen 0°0° und 180°180°.

Interleaved Practice

Aufgabe D (gemischt): Entscheide jeweils: Kosinussatz oder Sinussatz?

(a) a=7a = 7, b=9b = 9, c=12c = 12. Gesucht: γ\gamma. (b) α=45°\alpha = 45°, β=75°\beta = 75°, c=15c = 15. Gesucht: aa. (c) a=8a = 8, b=6b = 6, γ=50°\gamma = 50°. Gesucht: cc. (d) a=5a = 5, c=8c = 8, γ=80°\gamma = 80°. Gesucht: α\alpha.

Abgabe-Aufgaben

Seite mit Sinussatz berechnen (AFB I)

Im Dreieck ABC gilt α=65°\alpha = 65°, γ=48°\gamma = 48° und c=8 cmc = 8\,\text{cm}.

Berechne die Seite aa.

Textabgabe

Vermessung mit Sinussatz (AFB II)

Zwei Vermessungspunkte A und B liegen 500 m500\,\text{m} auseinander. Von A aus wird ein Kirchturm C unter dem Winkel α=72°\alpha = 72° angepeilt, von B aus unter β=63°\beta = 63°.

(a) Berechne den Winkel γ\gamma bei C. (b) Berechne die Entfernungen AC und BC.

Textabgabe

Mehrdeutigkeit beurteilen (AFB III)

Im Dreieck gilt a=5 cma = 5\,\text{cm}, b=5 cmb = 5\,\text{cm}, β=60°\beta = 60°.

(a) Bestimme α\alpha mit dem Sinussatz. (b) Untersuche, ob es eine oder zwei Lösungen gibt. Begründe. (c) Erkläre allgemein: In welchen Fällen liefert der Sinussatz bei SSW genau eine, und in welchen Fällen zwei Lösungen?

Textabgabe

Transfer und Reflexion

Kapiteltest

Hinweis

Testregeln: Pro Frage können 0, 1, 2, 3 oder 4 Antworten richtig sein.

Frage 1 (AFB I)

Wie lautet der Sinussatz?

  • A: asin⁡(α)=bsin⁡(β)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}
  • B: a⋅sin⁡(α)=b⋅sin⁡(β)a \cdot \sin(\alpha) = b \cdot \sin(\beta)
  • C: sin⁡(α)a=sin⁡(β)b\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b}
  • D: a2=b2+c2−2bccos⁡(α)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)

Frage 2 (AFB I)

sin⁡(150°)=  ?\sin(150°) = \;?

  • A: 0,50{,}5
  • B: −0,5-0{,}5
  • C: sin⁡(30°)\sin(30°)
  • D: −sin⁡(30°)-\sin(30°)

Frage 3 (AFB I)

Bei welchem Kongruenzsatz verwendet man den Sinussatz?

  • A: SSS
  • B: SWS
  • C: WSW
  • D: SSW

Frage 4 (AFB I)

Wie viele Winkel zwischen 0°0° und 180°180° erfüllen sin⁡(α)=0,7\sin(\alpha) = 0{,}7?

  • A: Keiner
  • B: Genau einer
  • C: Genau zwei
  • D: Unendlich viele

Frage 5 (AFB I)

Im Dreieck mit α=50°\alpha = 50°, β=70°\beta = 70° und a=10a = 10. Wie berechnet man bb?

  • A: b=10⋅sin⁡(70°)sin⁡(50°)b = \frac{10 \cdot \sin(70°)}{\sin(50°)}
  • B: b=10⋅sin⁡(50°)sin⁡(70°)b = \frac{10 \cdot \sin(50°)}{\sin(70°)}
  • C: b=10⋅sin⁡(70°)sin⁡(50°)b = 10 \cdot \frac{\sin(70°)}{\sin(50°)}
  • D: b=10+sin⁡(70°)sin⁡(50°)b = 10 + \frac{\sin(70°)}{\sin(50°)}

Frage 6 (AFB I)

Wann liefert der Sinussatz bei SSW zwei Lösungen?

  • A: Immer
  • B: Wenn die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite kürzer ist als die andere gegebene Seite
  • C: Wenn α2+β<180°\alpha_2 + \beta < 180°
  • D: Nie

Frage 7 (AFB II)

Im Dreieck gilt a=4a = 4, b=10b = 10, β=102°\beta = 102°. Warum gibt es hier nur eine Lösung für α\alpha?

  • A: Weil β>90°\beta > 90° (stumpfer Winkel ist bereits vergeben)
  • B: Weil α2+β>180°\alpha_2 + \beta > 180°
  • C: Weil in einem Dreieck höchstens ein Winkel stumpf sein kann
  • D: Weil a<ba < b

Frage 8 (AFB II)

Welche der folgenden Konstellationen kann mit dem Kosinussatz nicht direkt gelöst werden?

  • A: a=5a = 5, b=7b = 7, γ=50°\gamma = 50°
  • B: a=5a = 5, b=7b = 7, c=9c = 9
  • C: α=40°\alpha = 40°, β=70°\beta = 70°, c=12c = 12
  • D: a=5a = 5, α=40°\alpha = 40°, b=7b = 7

Frage 9 (AFB II)

sin⁡(α)=sin⁡(180°−α)\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha) gilt, weil:

  • A: Der Sinus am Einheitskreis die y-Koordinate ist und diese bei α\alpha und 180°−α180° - \alpha gleich ist
  • B: Es so definiert wird
  • C: Die Dreiecke bei α\alpha und 180°−α180° - \alpha dieselbe Höhe haben
  • D: cos⁡(α)=cos⁡(180°−α)\cos(\alpha) = \cos(180° - \alpha)

Frage 10 (AFB II)

Im Dreieck mit a=b=5a = b = 5, β=60°\beta = 60°. Wie viele Lösungen hat α\alpha?

  • A: Keine
  • B: Genau eine: α=60°\alpha = 60° (gleichseitiges Dreieck)
  • C: Zwei: α=60°\alpha = 60° und α=120°\alpha = 120°
  • D: Unendlich viele

Frage 11 (AFB III)

Warum ist der Sinussatz bei SSS nicht geeignet?

  • A: Man braucht mindestens einen bekannten Winkel
  • B: Man kann keine Gleichung mit nur einer Unbekannten aufstellen
  • C: Der Sinussatz hat bei SSS zu viele Unbekannte
  • D: Der Sinussatz gilt bei SSS nicht

Frage 12 (AFB III)

Wie hängen Sinussatz und Kosinussatz zusammen?

  • A: Beide gelten in beliebigen Dreiecken
  • B: Sie ergänzen sich: Kosinussatz für SSS/SWS, Sinussatz für WSW/SSW
  • C: Man kann den Sinussatz aus dem Kosinussatz herleiten
  • D: Sie widersprechen sich manchmal

Frage 13 (AFB III)

In welchem Fall existiert bei SSW kein Dreieck?

  • A: Wenn sin⁡(α)>1\sin(\alpha) > 1 herauskommt
  • B: Wenn a⋅sin⁡(β)b>1\frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} > 1
  • C: Wenn die gegebene Seite zu kurz ist, um den gegenüberliegenden Winkel zu „erreichen"
  • D: Das kann nicht passieren

Frage 14 (AFB III)

Erkläre den Zusammenhang: Warum kann in einem Dreieck höchstens ein Winkel stumpf sein?

  • A: Weil die Winkelsumme 180°180° beträgt
  • B: Weil zwei stumpfe Winkel zusammen schon >180°> 180° wären
  • C: Weil der Sinus das so vorgibt
  • D: Weil die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt

Frage 15 (AFB III)

Maddalena sagt: „Im Fall SSW kann man cc auch mit dem Kosinussatz bestimmen, aber dann muss man eine quadratische Gleichung lösen." Hat sie recht?

  • A: Ja — man setzt die bekannten Werte ein und erhält eine quadratische Gleichung in cc
  • B: Nein — der Kosinussatz funktioniert bei SSW nicht
  • C: Ja — die quadratische Gleichung kann 0, 1 oder 2 Lösungen haben (analog zur Mehrdeutigkeit)
  • D: Nein — der Kosinussatz liefert immer eine eindeutige Lösung

Transferaufgabe

Um die Höhe eines Berges zu bestimmen, wird der Gipfel H von den Endpunkten A und B einer 200 m200\,\text{m} langen Standlinie aus angepeilt. Die Höhenwinkel betragen α=30,11°\alpha = 30{,}11° bei A und β=35,25°\beta = 35{,}25° bei B.

(a) Begründe, warum h=x⋅tan⁡(β)h = x \cdot \tan(\beta) und h=(x+200)⋅tan⁡(α)h = (x + 200) \cdot \tan(\alpha) gelten (wobei xx der horizontale Abstand von B zum Lotfußpunkt ist). (b) Berechne die Höhe hh des Berges.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Beantworte die Leitfrage: Wie berechnet man die Entfernung über einen See, wenn man nur eine Seite und zwei Winkel kennt?

Vernetzung: Der Werkzeugkasten der Trigonometrie

Du hast nun alle wichtigen Werkzeuge kennengelernt:

DreieckWerkzeug
Rechtwinklig, 1 Seite + 1 Winkelsin / cos / tan
Rechtwinklig, 2 SeitenPythagoras + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹
Beliebig, SSS oder SWSKosinussatz
Beliebig, WSW oder SSWSinussatz
Selbstdiagnose
Wie sicher bist du, dass du ein ähnliches Problem allein lösen könntest?

Musterlösungen