Kapitel 1: Sinus und Kosinus

Selbsttest Voraussetzungen

Löse die folgenden Aufgaben ohne Taschenrechner. Klappe danach die Lösung auf.

Retrieval Gate

Beantworte die folgenden Fragen aus dem Gedächtnis, bevor du weiterliest.

Productive-Failure-Aufgabe

Zwei rechtwinklige Dreiecke haben beide den Winkel $\alpha = 30°$ am Punkt A. Dreieck 1 hat eine Hypotenuse von $c = 10\,\text{cm}$, Dreieck 2 hat eine Hypotenuse von $c = 20\,\text{cm}$.

Aufgabe: Berechne für beide Dreiecke das Verhältnis $\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$. Was fällt dir auf?

Simulation: Sinus und Kosinus als Winkeleigenschaft

Arbeitsaufträge zur Simulation:

1. Stelle $\alpha = 30°$ ein. Verändere die Größe des Dreiecks mit dem Schieberegler. Notiere $\sin(30°)$ und $\cos(30°)$. Was fällt dir auf?
2. Wiederhole für $\alpha = 45°$ und $\alpha = 60°$.
3. Verändere nun den Winkel bei fester Dreiecksgröße. Wann wird $\sin(\alpha)$ größer als $\cos(\alpha)$? Bei welchem Winkel sind beide gleich?

Konsolidierung

Fasse in eigenen Worten zusammen: Warum hat $\sin(30°)$ immer denselben Wert, egal wie groß das Dreieck ist?

Retrieval Gate

Definition: Sinus und Kosinus

Worked Example 1 (vollständig): Winkelberechnung (AFB I)

Self-Explanation-Prompt: Erkläre in eigenen Worten: Warum wurde hier der Sinus und nicht der Kosinus verwendet?

Worked Example 2 (vollständig): Seitenberechnung (AFB I)

Completion Problem (1 Lücke)

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ($\gamma = 90°$) sind gegeben: $c = 10\,\text{cm}$ und $\alpha = 35°$.

Schritt 1 — Ansatz aufstellen: Gesucht ist die Seite $a$ (Ankathete von $\alpha$). Es gilt: $\cos(\alpha) = \frac{a}{c}$

Schritt 2 — Werte einsetzen: $\cos(35°) = \frac{a}{10}$, also $a = 10 \cdot \cos(35°)$

Schritt 3 — Berechnung durchführen: $a = 10\,\text{cm} \cdot 0{,}819 = 8{,}19\,\text{cm}$

Schritt 4 — Ergebnis interpretieren: Vervollständige diesen Schritt selbst: Was bedeutet das Ergebnis? Führe eine Plausibilitätsprüfung durch.

Completion Problem (2 Lücken)

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ($\gamma = 90°$) sind gegeben: $a = 4\,\text{cm}$, $b = 7\,\text{cm}$.

Schritt 1 — Ansatz aufstellen: Gesucht ist der Winkel $\alpha$. Die Seite $a$ ist die Gegenkathete von $\alpha$, die Seite $b$ ist die Ankathete von $\alpha$. Es gilt: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$.

Moment — der Tangens wurde noch nicht eingeführt! Verwende stattdessen: Die Hypotenuse $c$ berechne zuerst mit Pythagoras: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Dann: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

Schritt 2 — Werte einsetzen: Vervollständige: Setze die gegebenen Werte ein und berechne $c$ und dann $\alpha$.

Schritt 3 — Berechnung durchführen und Schritt 4 — Ergebnis interpretieren: Vervollständige: Rechne den Winkel aus und prüfe dein Ergebnis auf Plausibilität.

Sicherung

Mixed Retrieval Gate

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Berechne $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ im rechtwinkligen Dreieck mit $\gamma = 90°$, $a = 5\,\text{cm}$, $c = 13\,\text{cm}$.

Aufgabe B (AFB I): Berechne die Seite $b$ im rechtwinkligen Dreieck mit $\gamma = 90°$, $c = 7{,}3\,\text{cm}$, $\beta = 66{,}6°$.

Aufgabe C (AFB II): Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a = 3{,}4\,\text{cm}$ und die Hypotenuse $c = 6\,\text{cm}$. Berechne beide spitzen Winkel.

Interleaved Practice

Aufgabe D (gemischt): Entscheide jeweils, ob du den Satz des Pythagoras oder Sinus/Kosinus brauchst, und löse:

(a) Rechtwinkliges Dreieck, $a = 8\,\text{cm}$, $b = 6\,\text{cm}$. Gesucht: $c$. (b) Rechtwinkliges Dreieck, $\alpha = 40°$, $c = 15\,\text{cm}$. Gesucht: $a$. (c) Rechtwinkliges Dreieck, $a = 9\,\text{cm}$, $c = 15\,\text{cm}$. Gesucht: $\alpha$.

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Was ist die Gegenkathete von $\alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit $\gamma = 90°$?

• A: Die Seite $a$
• B: Die Seite $b$
• C: Die Seite $c$
• D: Die Hypotenuse

Frage 2 (AFB I)

Welche Formel stimmt für $\sin(\alpha)$ im rechtwinkligen Dreieck?

• A: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• B: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• C: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• D: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Frage 3 (AFB I)

Im rechtwinkligen Dreieck ist $\sin(\alpha) = 0{,}6$ und $c = 10\,\text{cm}$. Wie lang ist die Gegenkathete?

• A: $4\,\text{cm}$
• B: $6\,\text{cm}$
• C: $16{,}7\,\text{cm}$
• D: $0{,}06\,\text{cm}$

Frage 4 (AFB I)

Wenn man die Größe eines rechtwinkligen Dreiecks verdoppelt (alle Seiten verdoppeln), was passiert mit $\sin(\alpha)$?

• A: $\sin(\alpha)$ verdoppelt sich
• B: $\sin(\alpha)$ bleibt gleich
• C: $\sin(\alpha)$ halbiert sich
• D: $\sin(\alpha)$ wird 0

Frage 5 (AFB I)

Für welchen Winkel gilt $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$?

• A: $\alpha = 0°$
• B: $\alpha = 30°$
• C: $\alpha = 45°$
• D: $\alpha = 90°$

Frage 6 (AFB I)

Was gilt für $\sin(\alpha)$ in einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel $\alpha$?

• A: $\sin(\alpha)$ ist immer positiv
• B: $\sin(\alpha)$ kann größer als 1 werden
• C: $\sin(\alpha)$ liegt immer zwischen 0 und 1
• D: $\sin(\alpha)$ ist immer kleiner als $\cos(\alpha)$

Frage 7 (AFB II)

Ein Dach hat eine Neigung von $\alpha = 38°$ und der Dachsparren ist $9{,}2\,\text{m}$ lang. Welche Berechnungen sind korrekt?

• A: Höhe des Dachs $= 9{,}2 \cdot \sin(38°)$
• B: Höhe des Dachs $= 9{,}2 \cdot \cos(38°)$
• C: Horizontale Länge $= 9{,}2 \cdot \cos(38°)$
• D: Horizontale Länge $= 9{,}2 \cdot \sin(38°)$

Frage 8 (AFB II)

Welche Informationen reichen aus, um alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen?

• A: Zwei Seitenlängen
• B: Ein spitzer Winkel und eine Seitenlänge
• C: Beide spitze Winkel
• D: Die Hypotenuse allein

Frage 9 (AFB II)

Im rechtwinkligen Dreieck mit $\gamma = 90°$ gilt $\alpha = 30°$. Welche Aussagen sind richtig?

• A: $\sin(30°) = 0{,}5$
• B: $\cos(30°) = 0{,}5$
• C: $\beta = 60°$
• D: Die Gegenkathete von $\alpha$ ist halb so lang wie die Hypotenuse

Frage 10 (AFB II)

Zwei Schüler berechnen den Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck ($\gamma = 90°$, $a = 4$, $c = 8$). Wer rechnet richtig?

• A: Anna rechnet $\sin(\alpha) = \frac{4}{8} = 0{,}5$, also $\alpha = 30°$
• B: Ben rechnet $\cos(\alpha) = \frac{4}{8} = 0{,}5$, also $\alpha = 60°$
• C: Beide haben recht
• D: Keiner hat recht

Frage 11 (AFB II)

Welche Aussagen über den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck sind richtig?

• A: $\cos(\alpha)$ wird größer, wenn $\alpha$ größer wird
• B: $\cos(\alpha)$ wird kleiner, wenn $\alpha$ größer wird
• C: $\cos(0°) = 1$
• D: $\cos(90°) = 1$

Frage 12 (AFB III)

Warum kann $\sin(\alpha)$ in einem rechtwinkligen Dreieck niemals den Wert 1 erreichen (für spitze Winkel $\alpha$)?

• A: Weil die Gegenkathete immer kürzer als die Hypotenuse ist
• B: Weil der Taschenrechner es so berechnet
• C: Weil die Hypotenuse die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist
• D: Weil $\alpha$ kleiner als $90°$ sein muss

Frage 13 (AFB III)

Paul sagt: "Wenn ich $\sin(\alpha)$ kenne, kann ich $\cos(\alpha)$ auch berechnen, ohne den Winkel zu kennen." Hat Paul recht?

• A: Ja, denn es gilt $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
• B: Ja, denn $\cos(\alpha) = 1 - \sin(\alpha)$
• C: Nein, man braucht immer den Winkel
• D: Ja, denn $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}$

Frage 14 (AFB III)

In einem rechtwinkligen Dreieck sind $\alpha = 25°$ und $c = 20\,\text{cm}$ gegeben. Marie berechnet die Gegenkathete so: $a = \frac{c}{\sin(\alpha)} = \frac{20}{\sin(25°)}$. Was ist falsch?

• A: Nichts, die Berechnung ist korrekt
• B: Die Formel ist falsch umgestellt — richtig wäre $a = c \cdot \sin(\alpha)$
• C: Marie verwechselt Division und Multiplikation
• D: Maries Ergebnis wird größer als die Hypotenuse sein

Frage 15 (AFB III)

Welche der folgenden Aussagen sind für rechtwinklige Dreiecke mit spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta = 90° - \alpha$ richtig?

• A: $\sin(\alpha) = \cos(\beta)$
• B: $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$
• C: Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$
• D: $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = 1$

Transferaufgabe

Ein Leuchtturm steht auf einer Klippe. Vom Fuß der Klippe aus sieht man die Spitze des Leuchtturms unter einem Winkel von $72°$. Die Klippe ist $45\,\text{m}$ hoch, der Leuchtturm steht direkt an der Klippenkante.

Wenn man $120\,\text{m}$ von der Klippe entfernt steht und zur Leuchtturmspitze hinaufblickt, beträgt der Blickwinkel $28°$.

Berechne die Höhe des Leuchtturms.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Beantworte die Leitfrage aus der Einleitung nun mit deinem neuen Wissen:

Warum liefert der Taschenrechner für $\sin(30°)$ immer denselben Wert — egal wie groß das Dreieck ist?

Vernetzung: Überlege: Welche Fragestellungen kannst du mit Sinus und Kosinus noch nicht lösen? (Tipp: Was, wenn du die beiden Katheten kennst, aber nicht die Hypotenuse, und den Winkel berechnen willst?)

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Musterlösungen