Kapitel 4: Der Kosinussatz

Selbsttest Voraussetzungen

Productive-Failure-Aufgabe

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 3$ und $b = 4$. Der Winkel $\gamma$ (gegenüber $c$) ist veränderbar.

Aufgabe:

1. Berechne $a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$.
2. Für $\gamma = 90°$: $c = 5$, also $c^2 = 25 = a^2 + b^2$. ✓ (Pythagoras!)
3. Für $\gamma = 60°$: Kannst du $c$ berechnen? Ist $c^2$ immer noch $= a^2 + b^2$?

Simulation: Vom Pythagoras zum Kosinussatz

Arbeitsaufträge zur Simulation:

1. Belasse $a = 3$, $b = 4$. Schiebe $\gamma$ langsam von $10°$ bis $170°$. Beobachte die Differenz $a^2 + b^2 - c^2$ und den Wert $2ab\cos(\gamma)$. Was stellst du fest?
2. Bei welchem Winkel $\gamma$ ist die Differenz genau $0$? Was bedeutet das?
3. Für welche Winkel ist $c^2$ größer als $a^2 + b^2$? Was passiert dann mit $\cos(\gamma)$?
4. Ändere $a$ und $b$. Gilt die Beobachtung immer noch?
5. Blende die Formel ein. Erkläre in eigenen Worten, warum der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras ist.

Konsolidierung

Erkläre in eigenen Worten: Warum ist der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes?

Der Kosinussatz: Formel und Herleitung

Worked Example 1 (vollständig): Seitenlänge bestimmen (SWS) (AFB I)

Self-Explanation-Prompt: Warum konnte man hier nicht einfach den Satz des Pythagoras verwenden?

Worked Example 2 (vollständig): Winkelgrößen bestimmen (SSS) (AFB II)

Completion Problem (1 Lücke)

Berechne die fehlende Seite $a$ im Dreieck mit $b = 10\,\text{cm}$, $c = 12\,\text{cm}$, $\alpha = 70°$.

Schritt 1: Kosinussatz: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

Schritt 2: $a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(70°) = 100 + 144 - 240 \cdot 0{,}342 = 244 - 82{,}1 = 161{,}9$

Schritt 3: $a = \sqrt{161{,}9} \approx 12{,}7\,\text{cm}$

Schritt 4: Vervollständige: Plausibilitätsprüfung

Completion Problem (2 Lücken)

Bestimme den Winkel $\alpha$ im Dreieck mit $a = 10\,\text{cm}$, $b = 12\,\text{cm}$, $c = 11\,\text{cm}$.

Schritt 1: Kosinussatz umgestellt: $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Vervollständige Schritte 2, 3 und 4.

Sicherung

Mixed Retrieval Gate

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Berechne $c$ im Dreieck mit $a = 4\,\text{cm}$, $b = 2\,\text{cm}$, $\gamma = 84°$.

Aufgabe B (AFB I): Bestimme alle Winkel im Dreieck mit $a = 5{,}5\,\text{cm}$, $b = 7{,}1\,\text{cm}$, $c = 8\,\text{cm}$.

Aufgabe C (AFB II): Ein Park hat die Form eines Dreiecks mit Seiten $a = 20\,\text{m}$, $c = 30\,\text{m}$ und dem eingeschlossenen Winkel $\beta = 100°$.

Berechne die Seite $b$ und den Winkel $\alpha$.

Interleaved Practice

Aufgabe D (gemischt): Entscheide, welches Werkzeug du brauchst:

(a) Rechtwinkliges Dreieck, $\alpha = 35°$, $c = 10$. Gesucht: $a$. (b) Dreieck mit $a = 7$, $b = 9$, $\gamma = 55°$. Gesucht: $c$. (c) Dreieck mit $a = 8$, $b = 6$, $c = 10$. Gesucht: $\gamma$.

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Wie lautet der Kosinussatz für die Seite $c$?

• A: $c^2 = a^2 + b^2$
• B: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$
• C: $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos(\gamma)$
• D: $c = a + b - 2ab\cos(\gamma)$

Frage 2 (AFB I)

Wann wird aus dem Kosinussatz der Satz des Pythagoras?

• A: Wenn $\gamma = 0°$
• B: Wenn $\gamma = 45°$
• C: Wenn $\gamma = 90°$
• D: Wenn $a = b$

Frage 3 (AFB I)

Welche Kongruenzsätze kann der Kosinussatz direkt bedienen?

• A: SSS
• B: SWS
• C: WSW
• D: SSW

Frage 4 (AFB I)

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ergibt einen negativen Wert. Was bedeutet das?

• A: Ein Rechenfehler
• B: $\gamma > 90°$ (stumpfer Winkel)
• C: $c^2 > a^2 + b^2$
• D: Das Dreieck existiert nicht

Frage 5 (AFB I)

Berechne $c$ für $a = 3$, $b = 4$, $\gamma = 90°$ mit dem Kosinussatz.

• A: $c = 5$
• B: $c = 7$
• C: $c = \sqrt{25} = 5$
• D: $c = \sqrt{25 - 0} = 5$

Frage 6 (AFB I)

Im Dreieck mit $a = b = c = 6$ ist $\gamma = \;?$

• A: $60°$
• B: $90°$
• C: $120°$
• D: $45°$

Frage 7 (AFB II)

Zwei Schiffe fahren von einem Hafen in unterschiedliche Richtungen mit einem Winkel von $35°$. Nach $10\,\text{km}$ bzw. $15\,\text{km}$ beträgt ihr Abstand:

• A: $c = \sqrt{100 + 225} \approx 18\,\text{km}$
• B: $c = \sqrt{100 + 225 - 300\cos(35°)} \approx 8{,}8\,\text{km}$
• C: $c = 15 - 10 = 5\,\text{km}$
• D: $c = \sqrt{325 - 245{,}7} \approx 8{,}9\,\text{km}$

Frage 8 (AFB II)

In welchem Fall ist der Kosinussatz nicht direkt anwendbar?

• A: SSS
• B: SWS
• C: WSW
• D: Rechtwinkliges Dreieck

Frage 9 (AFB II)

$\cos(120°)$ ist:

• A: $0{,}5$
• B: $-0{,}5$
• C: $0$
• D: $-1$

Frage 10 (AFB II)

Bei einem stumpfen Winkel $\gamma = 120°$ und $a = b = 5$: Wie groß ist $c$?

• A: $c = \sqrt{50 - 50\cos(120°)} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} \approx 8{,}66$
• B: $c = \sqrt{50 + 50\cos(120°)} = \sqrt{50 - 25} = 5$
• C: $c < \sqrt{50}$ (weil stumpf)
• D: $c > \sqrt{50}$ (weil stumpf)

Frage 11 (AFB III)

Warum enthält der Kosinussatz den „Korrekturfaktor" $-2ab\cos(\gamma)$?

• A: Er korrigiert die Abweichung vom rechten Winkel
• B: Für spitze Winkel ($\gamma < 90°$) wird $c$ kürzer als bei Pythagoras
• C: Für stumpfe Winkel ($\gamma > 90°$) wird $c$ länger als bei Pythagoras
• D: Der Faktor hat keine anschauliche Bedeutung

Frage 12 (AFB III)

Was passiert, wenn man im Kosinussatz $\gamma = 180°$ einsetzt?

• A: $c = a + b$ (das Dreieck degeneriert zur Strecke)
• B: $\cos(180°) = -1$, also $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
• C: $c = a - b$
• D: Das ist nicht möglich

Frage 13 (AFB III)

Kann man mit dem Kosinussatz prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?

• A: Ja, wenn $\cos(\gamma) = 0$, ist $\gamma = 90°$
• B: Ja, wenn $c^2 = a^2 + b^2$, dann $\gamma = 90°$
• C: Nein, dafür braucht man Pythagoras
• D: Ja, denn Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes

Frage 14 (AFB III)

Existiert ein Dreieck mit $a = 3$, $b = 4$, $c = 10$?

• A: Ja
• B: Nein, weil $c > a + b$
• C: Man kann es mit dem Kosinussatz prüfen: $\cos(\gamma) = \frac{9 + 16 - 100}{24} = \frac{-75}{24} = -3{,}125$
• D: $|\cos(\gamma)| > 1$ ist unmöglich, also existiert das Dreieck nicht

Frage 15 (AFB III)

Warum beginnt man bei SSS typischerweise mit der Berechnung des größten Winkels?

• A: Weil die restlichen Winkel dann mit dem Innenwinkelsatz berechenbar sind
• B: Um zu klären, ob das Dreieck stumpfwinklig ist
• C: Man muss immer den kleinsten Winkel zuerst berechnen
• D: Weil der Kosinussatz für den größten Winkel genauer ist

Transferaufgabe

Ein Radarstation misst die Abstände zweier Schiffe: $S_1$ ist $10\,\text{km}$ entfernt, $S_2$ ist $8{,}9\,\text{km}$ entfernt. Die Schiffe erscheinen unter einem Winkel von $23°$.

Berechne den Abstand der Schiffe voneinander.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Wie berechnet man Seiten und Winkel in Dreiecken ohne rechten Winkel?

Vernetzung: Der Kosinussatz löst SWS und SSS. Aber was, wenn du WSW oder SSW hast (also keine zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel)? Dafür brauchst du den Sinussatz — Thema des nächsten Kapitels.

Musterlösungen