Exkursion: Sinus von Winkeln zwischen 90° und 180°

Lernziele

Nach dieser Exkursion kannst du:

erklären, wie der Sinus über den Einheitskreis auch für Winkel größer als $90°$ definiert wird
begründen, warum $\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$ gilt
erklären, warum der Sinussatz bei stumpfwinkligen Dreiecken zwei Lösungen liefern kann

Leitfrage: Was bedeutet $\sin(120°)$ , wenn es gar kein rechtwinkliges Dreieck mit einem $120°$ -Winkel gibt?

Schritt 1 von 3

Voraussetzungen — Check-in

Hinweis

Bevor du mit dieser Exkursion startest, solltest du Kapitel 1 (Sinus und Kosinus) und Kapitel 4 (Kosinussatz) durchgearbeitet haben.

Retrieval GatePflicht

1. Berechne $\sin(30°)$ und $\cos(60°)$ mit dem Taschenrechner. Was fällt dir auf?

2. Was ergibt $\cos(90°)$ ? Begründe geometrisch.

$\cos(90°) = 0$ . Bei $90°$ ist die Ankathete gleich 0 (das Dreieck ist entartet), daher ist das Verhältnis $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = 0$ .

Erkundung: Sinus am Einheitskreis

Beim Kosinussatz hast du gesehen, dass $\cos(\gamma)$ für stumpfe Winkel negativ wird — der Taschenrechner kann das berechnen. Aber was steckt dahinter?

Wenn du $\sin(130°)$ in den Taschenrechner eingibst, erhältst du $\approx 0{,}766$ . Doch wie kann es einen Sinus für $130°$ geben, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck kein Winkel größer als $90°$ sein kann?

Die Antwort liefert der Einheitskreis — eine geometrische Erweiterung, die den Sinus für alle Winkel definiert.

Sinus am Einheitskreis

Erweitere den Sinusbegriff ueber 90 Grad hinaus und entdecke die Supplementbeziehung.

Einheitskreis

Graph von sin(α)

\alpha = 60°

\sin(60°) = 0,8660

\sin(120°) = 0,8660

\sin(60°) = \sin(120°) = 0,8660

— gleiche Höhe auf dem Einheitskreis

Winkel α60°

0°45°90°135°180°

sin(α) =

Rechtwinkliges Dreieck einblenden

Kernaussage

Für alle Winkel $0° \le \alpha \le 180°$ gilt: $\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$ . Beide Punkte auf dem Einheitskreis haben dieselbe Höhe (y-Koordinate).

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Arbeitsaufträge

Hinweis

Arbeite die Aufträge der Reihe nach ab. Notiere deine Beobachtungen.

Auftrag 1: Bewege $\alpha$ langsam von $0°$ bis $180°$ . Beschreibe, wie sich $\sin(\alpha)$ verändert.

Auftrag 2: Stelle $\alpha = 30°$ ein. Lies $\sin(30°)$ ab. Finde nun einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert. Nutze dafür das Eingabefeld.

Auftrag 3: Aktiviere das rechtwinklige Dreieck. Vergleiche das Dreieck bei $\alpha = 40°$ und bei $\alpha = 140°$ . Was ist gleich, was ist unterschiedlich?

Auftrag 4: Erkläre in eigenen Worten, warum der Sinussatz bei stumpfwinkligen Dreiecken zwei Lösungen liefern kann.

Sicherung und Übung

Tipp

Die Einheitskreis-Erweiterung:

Im Einheitskreis (Radius $= 1$ ) ist $\sin(\alpha)$ die $y$ -Koordinate des Punktes auf dem Kreis. Diese Definition stimmt für spitze Winkel mit der Dreiecksdefinition überein und erweitert sie auf alle Winkel.

Kernregel: $\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$

Das bedeutet: Zu jedem Sinuswert (außer $\sin(90°) = 1$ ) gibt es zwei Winkel zwischen $0°$ und $180°$ — einen spitzen und einen stumpfen.

Achtung

Typischer Fehler: „ $\sin^{-1}(0{,}5) = 30°$ , also ist der Winkel $30°$ ."

Richtig: $\sin^{-1}(0{,}5)$ liefert $30°$ — aber auch $150°$ hat denselben Sinuswert. Welcher Winkel gemeint ist, muss aus dem Kontext der Aufgabe entschieden werden (z. B. spitzwinkliges vs. stumpfwinkliges Dreieck).

Supplementwinkel und Sinus (AFB II)

(a) Berechne $\sin(50°)$ und $\sin(130°)$ mit dem Taschenrechner. Was fällt dir auf?

(b) In einem Dreieck gilt $\sin(\alpha) = 0{,}866$ . Welche beiden Winkel kommen in Frage? Welcher ist es, wenn das Dreieck spitzwinklig ist?

(c) Erkläre, warum es beim Kosinussatz keine Mehrdeutigkeit gibt, beim Sinussatz aber schon.

Textabgabe

Du weißt jetzt, dass der Sinus über den Einheitskreis auch für stumpfe Winkel definiert ist und dass $\sin(\alpha) = \sin(180° - \alpha)$ gilt. Im nächsten Kapitel nutzt du dieses Wissen beim Sinussatz — und lernst, mit der Mehrdeutigkeit umzugehen.