Kapitel 3: Probleme lösen mit rechtwinkligen Dreiecken

Selbsttest Voraussetzungen

Productive-Failure-Aufgabe

Die Loreley ist ein Schieferfelsen am Rhein. Die Spitze liegt $132\,\text{m}$ über dem Wasser. Von dort sieht man das eine Flussufer unter einem Tiefenwinkel von $\alpha = 31{,}4°$ und das andere unter $\beta = 65{,}6°$.

Bestimme die Breite des Rheins.

Die 4-Schritte-Methode

Worked Example 1 (vollständig): Dachkonstruktion (AFB II)

Self-Explanation-Prompt: Warum war es nötig, zuerst die Planskizze zu zeichnen und das rechtwinklige Teildreieck zu identifizieren?

Worked Example 2 (vollständig): Zweites Teildreieck (AFB II)

Completion Problem (1 Lücke)

Ein Giebel hat die Breite $b_{\text{Giebel}} = 8{,}4\,\text{m}$ und die Höhe $h = 5{,}4\,\text{m}$. Das Dach ist symmetrisch.

Schritt 1 — Verstehen: Gesucht sind die Dachneigung $\alpha$ und die Länge der Dachkante $a$.

Schritt 2 — Zerlegen: Durch die Symmetrie ist die halbe Giebelbreite die Ankathete: $\frac{b_{\text{Giebel}}}{2} = 4{,}2\,\text{m}$. Die Höhe $h = 5{,}4\,\text{m}$ ist die Gegenkathete. Der Dachsparren $a$ ist die Hypotenuse.

Schritt 3 — Rechnen: $\tan(\alpha) = \frac{5{,}4}{4{,}2} = 1{,}286 \Rightarrow \alpha = \tan^{-1}(1{,}286) = 52{,}1°$ $a = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{5{,}4}{\sin(52{,}1°)} = \frac{5{,}4}{0{,}789} = 6{,}85\,\text{m}$

Schritt 4 — Rückschau: Vervollständige: Prüfe das Ergebnis mit dem Satz des Pythagoras und interpretiere es.

Completion Problem (2 Lücken)

Berechne den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit den Seiten $a = 4{,}1\,\text{cm}$, $b = 3{,}4\,\text{cm}$ und dem Winkel $\alpha = 42°$.

Schritt 1 — Verstehen: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist $A = a \cdot h$, wobei $h$ die Höhe auf die Seite $a$ ist.

Vervollständige Schritt 2, 3 und 4.

Sicherung

Mixed Retrieval Gate

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat $a = b = 5{,}9\,\text{cm}$ und $\alpha = 32°$. Berechne die Basis $c$, die Höhe $h$ und den Flächeninhalt.

Aufgabe B (AFB II): Ein Parallelogramm hat die Seiten $a = 12\,\text{m}$, $b = 7{,}2\,\text{m}$ und den Innenwinkel $\alpha = 30°$. Berechne den Flächeninhalt.

Interleaved Practice

Aufgabe C (gemischt):

(a) Berechne $\sin(45°)$ ohne Taschenrechner. (Tipp: gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $= 1$) (b) Ein Dach hat die Neigung $\alpha = 48°$ und die Dachkante ist $7\,\text{m}$ lang. Wie hoch ist das Dach? (c) Wie groß ist die Steigung des Dachs in Prozent?

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Was ist der erste Schritt bei der Lösung einer Sachaufgabe mit Trigonometrie?

• A: Sofort eine Formel aufstellen
• B: Die Aufgabe verstehen und eine Skizze zeichnen
• C: Den Taschenrechner einschalten
• D: Prüfen, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt

Frage 2 (AFB I)

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Seiten $a$ und $b$ und Winkel $\alpha$ ist:

• A: $A = a \cdot b$
• B: $A = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
• C: $A = a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$
• D: $A = \frac{a \cdot b}{2}$

Frage 3 (AFB I)

Was ist ein Tiefenwinkel?

• A: Ein Winkel, der von der Horizontalen nach unten gemessen wird
• B: Ein Winkel, der von der Vertikalen aus gemessen wird
• C: Der Winkel im rechtwinkligen Dreieck am tiefsten Punkt
• D: Der Winkel am Boden

Frage 4 (AFB I)

Welche der folgenden Figuren lassen sich durch Einzeichnen von Höhen in rechtwinklige Dreiecke zerlegen?

• A: Gleichschenkliges Dreieck
• B: Parallelogramm
• C: Trapez
• D: Kreis

Frage 5 (AFB I)

Ein Dach hat die Neigung $35°$ und die Dachkante ist $8\,\text{m}$. Die Höhe berechnet man mit:

• A: $h = 8 \cdot \sin(35°)$
• B: $h = 8 \cdot \cos(35°)$
• C: $h = 8 \cdot \tan(35°)$
• D: $h = 8 / \sin(35°)$

Frage 6 (AFB I)

Welche Prüfmethode eignet sich zur Rückschau?

• A: Satz des Pythagoras
• B: Winkelsumme im Dreieck ($180°$)
• C: Überschlagsrechnung
• D: Alle genannten

Frage 7 (AFB II)

In einem gleichschenkligen Trapez mit parallelen Seiten $a = 10$ und $c = 6$ und Winkel $\alpha = 50°$. Wie berechnet man die Höhe?

• A: $h = \frac{a-c}{2} \cdot \tan(\alpha)$
• B: $h = a \cdot \sin(\alpha)$
• C: $h = \frac{a+c}{2} \cdot \sin(\alpha)$
• D: $h = b \cdot \sin(\alpha)$ (wobei $b$ der Schenkel ist)

Frage 8 (AFB II)

Ein Dreieck hat keine rechten Winkel. Kann man trotzdem Trigonometrie anwenden?

• A: Nein, nie
• B: Ja, wenn man eine Höhe einzeichnet und so rechtwinklige Teildreiecke erzeugt
• C: Ja, mit dem Kosinussatz (kommt in Kapitel 4)
• D: Ja, mit dem Sinussatz (kommt in Kapitel 5)

Frage 9 (AFB II)

Warum ist eine Skizze bei Sachaufgaben so wichtig?

• A: Sie hilft, die rechtwinkligen Dreiecke zu erkennen
• B: Sie zeigt, welche Seite Gegen-/Ankathete/Hypotenuse ist
• C: Sie ist überflüssig, wenn man die Formel kennt
• D: Sie hilft, das Ergebnis auf Plausibilität zu prüfen

Frage 10 (AFB II)

Beim Lösen einer Aufgabe braucht man ein Zwischenergebnis aus einem anderen Teildreieck. Was ist zu beachten?

• A: Man sollte mit dem exakten (nicht gerundeten) Wert weiterrechnen
• B: Rundungsfehler können sich aufaddieren
• C: Man darf Zwischenergebnisse nie verwenden
• D: Es ist egal, ob man rundet oder nicht

Frage 11 (AFB III)

Kann der Satz des Pythagoras alle Aufgaben lösen, die Trigonometrie löst?

• A: Ja, man braucht keine Trigonometrie
• B: Nein, Pythagoras braucht zwei Seitenlängen — Trigonometrie braucht nur eine Seite und einen Winkel
• C: Nein, aus einem Winkel allein kann Pythagoras keine Seitenlänge berechnen
• D: Pythagoras und Trigonometrie ergänzen sich

Frage 12 (AFB III)

Tom löst eine Dachaufgabe und bekommt als Dachsparren $25\,\text{m}$ bei einer Dachbreite von $8\,\text{m}$. Woran erkennt er, dass das falsch sein könnte?

• A: Der Sparren kann nicht dreimal so lang sein wie die Dachbreite
• B: Er sollte $c^2 = a^2 + b^2$ prüfen
• C: Er hat vermutlich dividiert statt multipliziert
• D: Er erkennt es nicht — $25\,\text{m}$ könnte richtig sein

Frage 13 (AFB III)

Warum löst man Sachaufgaben besser in Teilschritten als in einer einzigen Formel?

• A: Man kann Zwischenergebnisse prüfen
• B: Man erkennt Fehler früher
• C: Eine lange Formel ist fehleranfälliger
• D: Es gibt keinen Grund — eine Formel wäre besser

Frage 14 (AFB III)

In welchen Berufsfeldern wird das Lösen von Problemen mit rechtwinkligen Dreiecken tatsächlich angewendet?

• A: Architektur und Bauwesen (Dachkonstruktionen)
• B: Vermessungstechnik (Höhen- und Entfernungsmessung)
• C: Navigation (Peilung und Kursberechnung)
• D: Alle genannten

Frage 15 (AFB III)

Eine Schülerin behauptet: „Bei der 4-Schritte-Methode ist Schritt 4 (Rückschau) überflüssig, weil der Taschenrechner keine Fehler macht." Bewerte diese Aussage.

• A: Sie hat recht — der Taschenrechner rechnet korrekt
• B: Falsch — der Taschenrechner rechnet nur, was man eingibt (Eingabefehler!)
• C: Falsch — man kann die falsche Formel verwenden
• D: Falsch — man kann Gegenkathete und Ankathete verwechseln

Transferaufgabe

Von einem Aussichtspunkt auf einem $50\,\text{m}$ hohen Turm sieht man zwei Boote auf einem See. Boot A liegt unter einem Tiefenwinkel von $15°$, Boot B unter $42°$. Beide Boote und der Turm liegen auf einer Linie.

Berechne den Abstand der beiden Boote voneinander.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Beantworte die Leitfrage: Wie bestimmt man die Breite des Rheins von einem einzigen Punkt aus?

Vernetzung: Die 4-Schritte-Methode funktioniert auch bei Dreiecken ohne rechten Winkel — dafür braucht man den Kosinussatz (Kapitel 4) oder den Sinussatz (Kapitel 5).

Musterlösungen

Wiederholen — Vertiefen — Vernetzen

Aufgabe 13: Messfehler und ihre Auswirkungen

Von einem Punkt C am Boden wird die Höhe eines gegenüberliegenden Turms (Punkt A) bestimmt. Die Messstrecke am Boden beträgt $BC = 100\,\text{m}$, der gemessene Winkel bei C ist $\alpha = 30°$.