Kapitel 2: Tangens

Selbsttest Voraussetzungen

Productive-Failure-Aufgabe

Für einen Skiwettbewerb soll eine Piste mit 58 % Steigung präpariert werden. Die Pistenraupe kann maximal eine Steigung mit einem Winkel von $25°$ bewältigen.

Aufgabe: Kann die Pistenraupe die Piste befahren? Versuche, den Winkel der 58 %-Piste zu berechnen.

Simulation: Tangens, Steigung und Steigungswinkel

Arbeitsaufträge zur Simulation:

1. Stelle den Winkel auf $45°$ ein. Wie groß ist die Steigung in Prozent? Erkläre, warum $100\%$ Steigung nicht „senkrecht" bedeutet.
2. Gib $58\%$ ein (die Skipiste). Lies den Winkel ab. Vergleiche mit der Berechnung oben.
3. Aktiviere die zweite Gerade und stelle $25°$ ein (Pistenraupe). Kann die Raupe die $58\%$-Piste bewältigen? Begründe anhand der Simulation.
4. Verdopple den Winkel von $20°$ auf $40°$. Hat sich $\tan(\alpha)$ auch verdoppelt? Was bedeutet das?

Konsolidierung

Erkläre in eigenen Worten: Warum brauchen wir den Tangens, wenn wir schon Sinus und Kosinus haben?

Retrieval Gate

Definition: Tangens

Worked Example 1 (vollständig): Seitenlänge mit Tangens (AFB I)

Self-Explanation-Prompt: Warum wurde hier der Tangens und nicht der Sinus verwendet?

Worked Example 2 (vollständig): Steigungswinkel berechnen (AFB II)

Completion Problem (1 Lücke)

Bestimme die Seite $b$ im rechtwinkligen Dreieck ($\gamma = 90°$) für $a = 8{,}5\,\text{cm}$ und $\alpha = 27°$.

Schritt 1 — Ansatz aufstellen: $a$ ist die Gegenkathete, $b$ die Ankathete von $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Schritt 2 — Werte einsetzen und nach $b$ umstellen: $\tan(27°) = \frac{8{,}5}{b} \quad | \cdot b$ $b \cdot \tan(27°) = 8{,}5 \quad | : \tan(27°)$ $b = \frac{8{,}5}{\tan(27°)}$

Schritt 3 — Berechnung durchführen: $b = \frac{8{,}5\,\text{cm}}{0{,}510} \approx 16{,}7\,\text{cm}$

Schritt 4 — Ergebnis interpretieren: Vervollständige: Interpretiere das Ergebnis und führe eine Plausibilitätsprüfung durch.

Completion Problem (2 Lücken)

Bestimme die Größe des Winkels $\beta$ im rechtwinkligen Dreieck ($\gamma = 90°$) für $a = 7{,}9\,\text{cm}$ und $b = 12{,}3\,\text{cm}$.

Schritt 1 — Ansatz aufstellen: $b$ ist die Gegenkathete von $\beta$, $a$ die Ankathete von $\beta$: $\tan(\beta) = \frac{b}{a}$

Vervollständige Schritt 2, 3 und 4.

Sicherung

Mixed Retrieval Gate

Geblocktes Üben

Aufgabe A (AFB I): Berechne $\tan(\alpha)$ im rechtwinkligen Dreieck mit $\gamma = 90°$, $a = 6{,}9\,\text{cm}$, $b = 9{,}1\,\text{cm}$.

Aufgabe B (AFB I): Berechne die Seite $x$ im rechtwinkligen Dreieck mit Ankathete $= 2{,}7\,\text{m}$ und $\alpha = 24°$. Die Gegenkathete $x$ ist gesucht.

Aufgabe C (AFB II): Eine Rollstuhlrampe hat eine Steigung von $6\%$. Wie lang muss die Rampe (schräge Fläche) sein, wenn sie einen Höhenunterschied von $1{,}20\,\text{m}$ überwinden soll?

Interleaved Practice

Aufgabe D (gemischt): Entscheide jeweils, ob du sin, cos oder tan verwendest:

(a) Gegeben: $\alpha = 35°$, Hypotenuse $c = 12$. Gesucht: Gegenkathete $a$. (b) Gegeben: $\alpha = 50°$, Ankathete $b = 8$. Gesucht: Gegenkathete $a$. (c) Gegeben: Gegenkathete $= 7$, Ankathete $= 10$. Gesucht: Winkel $\alpha$.

Abgabe-Aufgaben

Kapiteltest

Frage 1 (AFB I)

Welche Formel beschreibt den Tangens von $\alpha$?

• A: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• B: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$
• C: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
• D: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Frage 2 (AFB I)

Welchen Steigungswinkel hat eine Gerade mit Steigung $m = 1$?

• A: $0°$
• B: $45°$
• C: $90°$
• D: $100°$

Frage 3 (AFB I)

Wie groß ist $\tan(\alpha)$ im rechtwinkligen Dreieck mit $a = 4$ und $b = 4$?

• A: $0$
• B: $0{,}5$
• C: $1$
• D: $2$

Frage 4 (AFB I)

$58\%$ Steigung entspricht welchem Tangenswert?

• A: $58$
• B: $0{,}58$
• C: $5{,}8$
• D: $0{,}058$

Frage 5 (AFB I)

Welcher Winkel gehört zu einer Steigung von $100\%$?

• A: $100°$
• B: $90°$
• C: $45°$
• D: $50°$

Frage 6 (AFB I)

Im rechtwinkligen Dreieck ist $\tan(\alpha) = 2$ und die Ankathete $= 5$. Wie lang ist die Gegenkathete?

• A: $2{,}5$
• B: $7$
• C: $10$
• D: $\sqrt{29}$

Frage 7 (AFB II)

Eine Rollstuhlrampe muss eine Steigung von höchstens $6\%$ haben. Welcher Steigungswinkel ist das?

• A: $6°$
• B: $3{,}4°$
• C: $0{,}06°$
• D: $86°$

Frage 8 (AFB II)

Welche Informationen braucht man, um den Steigungswinkel einer Straße zu berechnen?

• A: Höhenunterschied und horizontale Strecke
• B: Höhenunterschied und Fahrtstrecke (schräg)
• C: Steigung in Prozent
• D: Nur die Fahrtstrecke

Frage 9 (AFB II)

Wann ist es besser, den Tangens statt Sinus oder Kosinus zu verwenden?

• A: Wenn die Hypotenuse unbekannt ist und man nur die Katheten kennt
• B: Wenn es um Steigungen geht
• C: Immer — Tangens ist besser als Sinus und Kosinus
• D: Wenn man das Verhältnis Gegenkathete/Ankathete braucht

Frage 10 (AFB II)

Zwei Straßen: Straße A hat $15\%$ Steigung, Straße B hat $30\%$ Steigung. Welche Aussagen stimmen?

• A: Der Steigungswinkel von B ist doppelt so groß wie der von A
• B: Straße B steigt doppelt so viel Höhe pro Meter horizontaler Strecke
• C: $\tan(\alpha_B) = 2 \cdot \tan(\alpha_A)$
• D: $\alpha_B = 2 \cdot \alpha_A$

Frage 11 (AFB III)

Warum ist der Tangens für Winkel nahe $90°$ extrem groß?

• A: Weil die Gegenkathete sehr groß wird
• B: Weil die Ankathete gegen 0 geht
• C: Weil $\cos(\alpha)$ gegen 0 geht und $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
• D: Weil der Taschenrechner einen Fehler macht

Frage 12 (AFB III)

Stimmt die Aussage: „Eine Straße mit doppelter Steigung in Prozent hat auch einen doppelt so großen Steigungswinkel"?

• A: Ja, immer
• B: Nein, nie
• C: Nur annähernd bei kleinen Steigungen
• D: Nur bei genau $45°$

Frage 13 (AFB III)

Warum gibt es drei verschiedene trigonometrische Verhältnisse (sin, cos, tan)?

• A: Weil es drei verschiedene Seitenpaare in einem rechtwinkligen Dreieck gibt
• B: Weil man historisch drei Formeln brauchte
• C: Weil je nach gegebenen Größen ein anderes Verhältnis am praktischsten ist
• D: Weil Tangens = Sinus/Kosinus ist und daher überflüssig

Frage 14 (AFB III)

Welche Aussagen sind korrekt?

• A: $\tan(45°) = 1$
• B: Für $\alpha < 45°$ gilt $\tan(\alpha) < 1$
• C: Für $\alpha > 45°$ gilt $\tan(\alpha) > 1$
• D: $\tan(\alpha)$ kann nie negativ werden (für spitze Winkel)

Frage 15 (AFB III)

Ein Berg hat von Westen eine Steigung von $40\%$ und von Osten eine Steigung von $25\%$. Tom sagt: „Der Westweg ist $1{,}6$-mal so steil wie der Ostweg." Was meinst du?

• A: Tom hat recht, wenn „steil" sich auf die Steigung in Prozent bezieht
• B: Tom hat recht, wenn „steil" sich auf den Steigungswinkel bezieht
• C: Die Steigung in Prozent ist $1{,}6$-mal so groß: $40/25 = 1{,}6$
• D: Der Steigungswinkel ist $1{,}6$-mal so groß

Transferaufgabe

Auf einer Bergetappe der Tour de France muss ein Radfahrer eine $1\,\text{km}$ lange Straße mit $25\%$ Steigung bewältigen. Um die Steigung zu verringern, fährt er in Schlangenlinien, wodurch sich sein Fahrweg um $400\,\text{m}$ verlängert.

Berechne die durchschnittliche Steigung, die der Radfahrer bei dieser Fahrweise bewältigen muss.

Vernetzung und Reflexion

Reflexions-Prompt: Beantworte die Leitfrage: Was bedeutet ein Schild mit „58 % Steigung" — und wie steil ist das tatsächlich?

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Musterlösungen